等腰梯形的性质与判定.pptVIP

梯形问题中经常用到的辅助线: 如图示: 学习了本节课,你有什么收获? * 第三章 证明(三) 第二节 等腰梯形的性质与判定 一.梯形的定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 如图,平行的两边叫做梯形的底,其中较短的底叫做上底,较长的底叫做下底. 不平行的两边叫做腰,夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 底 底 腰 腰 高 一组对边平行而 另一组对边不平行 四边形 梯形 有一个角是直角 直角梯形 两腰相等 等腰梯形 如图1,两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 图1 A B C D 如图2,一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形. 图2 A B C D 二、等腰梯形的性质 (1)两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD (2)同底上两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C (3)对角线相等 AC=BD (4)是轴对称图形 A B C D 证明：等腰梯形同一底上两个角相等 已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC, AB=CD. 求证：∠A= ∠D, ∠B= ∠C. 证明：如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，则∠1=∠B. ∵AD//BC, DE//AB. ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE(平行四边形对边相等). ∵AB=DC(已知） ∴DE=DC（等量代换） ∴∠1=∠C（等边对等角） ∴ ∠B =∠C （等量代换） ∵∠A+∠B=180°，∠ADC+ ∠C =180° ∴ ∠A= ∠ADC（等角的补角相等） E A B C D 1 辅助线：平移一腰 E A B C D F 证明2：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F. 则 AE=DF， ∠AEB= ∠DFC=90°， 在 Rt△ABE和 Rt△DCF 中 ∵ AB=CD, AE=DF ∴ Rt△ABE ≌ Rt△DCF(HL) ∴ ∠B =∠C(全等三角形对应角相等) ∵∠A+∠B=180°，∠ADC+ ∠C =180° ∴ ∠A= ∠ADC（等角的补角相等） 辅助线：作高 证明：等腰梯形同一底上两个角相等 证明：等腰梯形的两条对角线相等 A B C D 已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC, AB=CD. 求证：AC=BD 证明：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC, AB=CD ∴ ∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上两个角相等） 在△ABC和△DCB中 ∵ AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB(SAS) ∴ AC=BD 等腰梯形的判定方法 1、定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。 2、定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 3、定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 已知：如图， 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 A B C D E 1 证明：如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，则∠1=∠B. ∵AD//BC, DE//AB. ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE(平行四边形对边相等). ∵ ∠B =∠C ∴∠1=∠C ∴DE=DC（等角对等边） ∴ AB=DC（等量代换） ∴梯形ABCD是等腰梯形 辅助线：平移一腰 E A B C D F 证明2：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F. 则 AE=DF， ∠AEB= ∠DFC=90°， 在 Rt△ABE和 Rt△DCF 中 ∵ ∠B= ∠C, ∠AEB= ∠DFC=90°， AE=DF ∴ Rt△ABE ≌ Rt△DCF(AAS) ∴ AB=CD(全等三角形对应边相等) 辅助线：作高 定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 A B C D E 1 2 证明3：延长BA，CD相交点E. ∵ ∠B =∠C ∴ BE=CE(等角对等边) ∴ ∠1 =∠B, ∠2 =∠C (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠1 =∠2 （等量代换） ∴ AE=DE(等角对等边) ∴ BE -AE=DE-CE 即AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形 作辅助线：延长两腰 对角线相等的梯形是等腰梯形。 辅助线：平移对角线 1.梯形的定义及类型： 一组对边平行而 另一组对边不平行 四边形 梯形 有一个角是直角 直角梯形 两腰相等 等腰梯形 2.等腰梯形的性质 (1)两底平行,两腰相等 (2)同底上两角相等 (3)对角线相等 (4)是轴对称图形 A B C D 3.等腰梯形的判定 （1）定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 （3）定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。 *