四川大学自动控制原理课件 第四章 根轨迹法.ppt

第四章 根 轨 迹 法 经典控制理论的两大代表性方法之一 W. R. Evans 1948年提出 根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响 本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合（自学） 4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件 幅值条件和相角条件的几何意义 4-3. 绘制根轨迹的基本规则 仿真结构图 系统的单位阶跃响应 渐近线的交点总在实轴上，即　 必为实数． 共轭复数零、极点的虚部相互抵消 ? 计算时只须代入开环零、极点的实部． 利用 MATLAB 绘制根轨迹图 仿真结构图 系统的单位阶跃响应 根轨迹图 仿真结构图 系统的单位阶跃响应 上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动（见前面例）； 还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。 根据性能要求确定主导极点 由主导极点确定根轨迹增益 由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点 如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？ 零度根轨迹与根轨迹族的概念 4-4. 参数根轨迹 求闭环传递函数： 绘制系统的根轨迹图； 分析根轨迹图，估计开环增益或其他参数对闭环极点分布的影响； 根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应性能； 对高阶系统要尽可能找出它的闭环主导极点； 若由根轨迹图无法确定满意的闭环极点，可通过增加校正装置（串联或反馈）来改变开环传函，从而改变根轨迹。 练习 B4.1, B4.4 (2) , B4.7 取 Kg = 0.5, 1, 5, 10, 20, 50 Kg=0.5 Kg=1 Kg=5 Kg=20 Kg=10 Kg=50 九. 特征方程的根之和=开环极点之和 （n-m≥2） 计算时只须代入实部． 闭环极点及传递函数的确定： 要求一对主导极点的阻尼比ζ=0.707 续前例： × × × -1 -2 σ jω -0.423 Kg=6 Kg=6 -60° 60° 1. 画出ζ线并确定主导极点 2．主导极点处对应的增益值用幅值条件求 0.73 1.66 0.54 分别令实部和虚部为零，可得 虚部≠实部时如何求？ 3．求另一个闭环极点 若为单位反馈系统（H=1），则闭环传函为 4．求闭环传递函数 G(s) H(s) - R(s) Y(s) G(s) H(s) - R(s) Y(s) K1从0变到+∞时，闭环极点的变化轨迹称为零度根轨迹。 零度根轨迹还可用于分析正反馈系统和非最小相位系统（有右半s平面零点或极点）。 有右半s平面零点或极点的系统： 有右半s平面极点的情况同理。 G(s) H(s) - R(s) Y(s) G(s) H(s) R(s) Y(s) 正反馈系统： 根轨迹族：开环传递函数有多个参数变化时，闭环系统极点在s平面上的变化轨迹。 例：已知系统结构图，绘制以α为可变参数 （从0变到 ∞）的根轨迹. - - 相当于一种反馈校正 （1）系统的开环传递函数与特征方程 特征方程为 （2）以　为参变量，特征方程可改写为 即 绘制　　　 的根轨迹 （等效开环传函） - - 等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同 即改写前后的特征方程或特征根等效。 （3）开环极点 开环零点 （4）实轴上的根轨迹 （5）会合点 求 　　　，得 　　　　　 （6）出射角 若要求闭环极点 s1,2= -1，如何求闭环传函？ 注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等效开环传函。 - - α=1 G(s) H(s) - R(s) Y(s) 例： 绘制以b为参变量的根轨迹。 特征方程为 绘制以 Kb 为参数, Gb 的根轨迹图（绘制过程略）. 相当于一种串联校正 根轨迹法分析系统的一般步骤： * D1(s) Y(s) R(s) G1(s) G 2(s) H(s) - D2(s) E(s) 4-1. 根轨迹基本概念 开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 根轨迹的定义： D1(s) Y(s) R(s) G1(s) G 2(s) H(s) - D2(s) E(s) 常规根轨迹 参数根轨迹 R(s) Y(s) - 例： -2 0 × × j 由根轨迹图分析: １.稳定性 因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ0都是稳定的。 ２.稳态性能 开环传函有一个位于坐标原点的极点?I型系统?阶跃响应的稳态误差为0；闭环极点确定→K确定→其他响应的稳态误差确定。 ３．暂态性能 0K≤0.5时，特征根为实根，过阻尼系统，响应为非振荡型； K＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系统