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整数裂项后延减前伸?? 差数除以N——例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学（461400） 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例1、? 计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100?? =（99×100×101-0×1×2）÷3?? =333300例2、? 计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）……97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。 解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101? ?=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）?? =1029882÷6?? =171647?? 例3、? 计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。??? 1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）??? 2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）??? 3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）??? ……??? 96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）??? 97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99?? =（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）?? 4、? 计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88? =（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）? =2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例5、?? 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×1