复变函数与积分变换山东大学第一章20151021.pptx

复变函数与积分变换;第一章 复数与复变函数; 早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想: 17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题. 复变函数论产生于18世纪，由瑞士数学家欧拉作出.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并用“ ”作为虚数的单位. ; 复变函数论的全面发展在19世纪.到了20世纪，复变函数被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面，并且有很多复杂的计算都是用它来解决的. 比如 元代数方程 在复数域中恒有解，这是著名的代数学基本问题，它用复变函数理论来证明非常简洁. 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.;1.1复数及其运算;一、复数的概念;注：两个不全为0的复数不能比较大小;1、(复平面上的)点;2、复数与向量关系;的辐角不能确定。;其中;例1 求下列复数的三角形式与指数形式。;例1 求下列复数的三角形式与指数形式。;例2 求下列复数的模和主值辐角。;三、复数的运算;三、复数的运算;2、复数的共轭运算;3、复数四则运算的相关性质;3、复数四则运算的相关性质;解：;四、复数的乘幂与方根;四、复数的乘幂与方根;例4 计算下列各式。;例4 计算下列各式。;;;例1 判断下列命题是否正确？;解：;例3 设;例4 证明;例5 已知已知正方形 的相对定点 求顶点 和 的坐标。;例6 计算下列各式。;例7 求满足下列条件的复数z。;例7 求满足下列条件的复数z。;例7 求满足下列条件的复数z。;1.2复平面上的曲线和区域;一、复平面上的曲线方程;（例1.2.1）;二、简单曲线与光滑曲线;三、区域;三、区域;例3 判断下列区域是无界域（有界域），单连通区域（多 连通区域）。;1.3复变函数;一、复变函数的概念;例1 考虑映射 ;例3 将函数;例3 将函数;二、映射;——原象;例4 研究;解：设;1.4复变函数的极限与连续性;一、复变函数的极限;2、极限的运算法则;处的极限。;处的极限不存在。;二、复变函数的连续性;定理1.4.4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数； 连续函数的复合函数仍为连续函数.;例3 试证;;例1 用复数方程表示过两点;例2 研究映射;例4 研究映射;例5 求曲线 在映射 下的象。 ;1.5 MATLAB实验;二、实例应用;例2 计算下列各题。;（2）运行xt1(sqrt(3)-i)，得结论:;;;由复数定义可知