导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用基丛点练理.doc

第9节　函数模型及其应用 【选题明细表】 知识点、方法 题号 用函数(图象)刻画实际问题中两变量的变化过程 1,2 一次函数、二次函数模型 4,5 函数y=x+(a0)模型 10 指数函数模型 3,8,9,11 分段函数模型 6,7,9,12,13,14 基础对点练(时间:30分钟) 1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有(　A　) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的. 2.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(　B　) 解析:根据题意得解析式为h=20-5t(0≤t≤4),其图象为B. 3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的时,需要经过(　C　) (A)5年 (B)4年 (C)3年 (D)2年 解析:由指数函数模型知（）x=, 解得x=3. 4.(2014高考北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(　B　) (A)3.50分钟 (B)3.75分钟 (C)4.00分钟 (D)4.25分钟 解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式, 得 解得 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大. 5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(　C　) (A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30] 解析:如图所示,过A作AG⊥BC于G,交DE于F,则=,==,又=, 所以=,AF=x,FG=40-x, 阴影部分的面积S=x(40-x)≥300, 解得10≤x≤30.故选C. 6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2, S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是(　C　) 解析:设CD=x,则S=x(16-x)(4x16-a), u=Smax=f(a)= 7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为(　C　) (A)上午10:00 (B)中午12:00 (C)下午4:00 (D)下午6:00 解析:当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入, 得k1=80, 所以y=80x, 当x∈[4,20]时, 设y=k2x+b. 把(4,320),(20,0)代入得 解得 所以y=400-20x. 所以y=f(x)= 由y≥240,得或 所以3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4:00. 8.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为　　　　　.? 解析:不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,依此类推,第二年8月份的产值是b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为=(1+a)12-1. 答案:(1+a)12-1 9.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过　　　　min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.? 解析:依题意有a·e-b×8=a, 所以b=, 所以y=a· 若容器中的沙子只有开始时的八分之一, 则有a·=a. 解得