高中数学3-3一元二次不等式及其解法精品课件同步导学新人教B版必修.ppt

当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解是全体实数？ 3.3　一元二次不等式及其解法 1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2则f(x) ． ＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ0时 实数根当Δ＝0时，有 实数根x＝ ；当Δ0时，有 实数根x＝ . 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y＝0；当x∈ 时，y0；当x∈ 时y0. 没有 两个相等 两个不等 {－1,3} (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) 1．一元二次不等式的概念 含有 未知数，且未知数的 次数为 不等式，叫做一元二次不等式． 2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) 一个 最高 2的整式 3.求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程： 设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，(x1x2)则 (1)当a0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0的解集是什么？ (2)当a0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0的解集是什么？ 解不等式：(1)x2－8x＋150；(2)－x2－2x－3. 【思路点拨】　(1)可根据二次函数、二次方程和二次不等式的关系求解，也可以利用二次函数图象求解，还可以对不等式左边进行因式分解，转化为一元一次不等式组求解； (2)要先化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的形式再求解． 解一元二次不等式的基本步骤就是首先判断判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及首项系数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法，应当熟练掌握． 1.解下列不等式： (1)－x2＋5x－6＞0； (2)3x2＋5x－2＞0； (3)3x2＋5x－2≤0； (4)9x2－6x＋1＞0； (5)x2－4x＋5＞0. 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)． 【思路点拨】　先求出二次方程的两根，但两根的大小不确定，因此要分类讨论，才能确定解集． 对系数中含有参数的一元二次不等式的求解，一般需从三个方面考虑分类讨论：(1)当二次项系数的符号不确定时，按二次项系数的正、负分类，以确定不等式解集形式(是在两根间，还是在两根外)；(2)当判别式Δ不确定时要按Δ0，Δ＝0，Δ0进行分类，以确定二次方程的根的个数；(3)当方程的两根大小不确定时，应按x1x2，x1＝x2，x1x2进行分类，得出不同的解集． 2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集． 解下列不等式： (1)(x2－1)(x2－4)≤0； (2)(x2＋3x＋2)(x2－2x－3)≥0； (3)(x2－x＋1)(x2－x－6)(x－4)＞0. 【思路点拨】　将每个不等式的左边在实数范围内因式分解，再把根标在数轴上，画波浪线． 在一元高次不等式的求解过程中，应保持各因式中x的系数为正，否则会改变不等号的方向． 3.解下列不等式： (1)(x＋1)(1－x)(x－2)＞0； (2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0. 【解析】　(1)原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)＜0. 各因式的根分别为1、2、－1，不等式解集为(－∞，－1)∪(1,2)． (2)如图所示．各因式的根分别为0、1、－1、－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，不等式的解集为[－2，－1]∪[0，＋∞)． － 方法三：原不等式可化为(x－3)(x－5)＞0， 即或，解得x＜3或x＞5. 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. 方法一：由方程x2＋2x－3＝0的判别式 Δ＝22－4×(－3)＝16， 得方程两根分别为x1＝－3，x2＝1. 原不等式的解集为. 【解析】　原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，解集为； 当a＝0时，a2＝a，解集为； 当0＜a＜1时，a2＜a，解集为； 【思路点拨】　由不等式(a2－1)x2－(a－1)x－10的解集为R，知函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图象全在x轴的下方，因此只能开口向下且与x轴无公共点，即满足. 【错解】　同约去2x＋1，得， 两边取倒数，得x－33x－2， 解得x－，即原不等式的解集为. 【解析】　因为ax2＋bx＋c＞0的解集为，所以a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得，即， 综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解为全体实数． Δ＝b2－4ac Δ