高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程).doc

不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题. 1．几类不定方程 （1）一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理. 定理一：二元一次不定方程为整数.有整数解的充分必要条件是. 定理二：若为①之一解，则方程①全部解为. （t为整数）。 （2）沛尔方程 形如（，不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使最小的解，则其的全部正整数解由（）给出. ①只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②满足的关系：； ， （3）勾股方程 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知实际上两两互素. 这种两两互素的正整数解称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三：方程满足，的全部正整数解可表为 ，其中，是满足一奇一偶，且的任意整数. 4．不定方程 这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出： 设，则，其中，故， 所以. 因此方程的正整数解可表示为 都是正整数，且.反过来，易知上述给出的都是解. 也可采用如下便于记忆的推导： 设是既约分数，即. 由于约分后得出，故，同理 2．不定方程一般的求解方法 1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法 6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法 由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程无正整数解。 证明：假设存在正整数解，其中最小的解记为。因为，根据勾股方程的通解公式有，其中一奇一偶，。从可以得到为奇数，为偶数，令，，其中，所以。由得，即，又可以通过勾股方程的通解公式，注意到，所以，，而，与的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。 赛题精讲 例1．（1）求不定方程的所有解； （2）求不定方程的所有解。 解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数，使得。如，依次反代即可得到一个特解。 （2），可以取，此时可以得到。从而得到一个特解。 注：这个两个方法是基本方法。 例2．求所有满足方程的正整数解 解析：首先从同余的角度可以发现必须为偶数，，又的个位数必须为5，而的个位数为2，4，或6，的个位数为3，9，1，所以，对应的。这样可以令，，可以得到，注意到均为奇数，两个的和和差必定是一个单偶，一个双偶，从而，目标集中于，观察有解。当时，两边取模17可以得到矛盾。所以仅有解 例3．为给定的一个整数，当为何值时，方程有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。 解：可以变形为，这样，一个明确的事实，从而。这样我们得到。不妨假设两种情况。 （1） ，从这个代数式发现，，对单独讨论，有，，这种情况共有解：；，注意到*式的等价性，又有解 （2） 将等式转化为不等式，从同余的角度看有，所以， 若，则，只能是。注意到*式的等价性，又有解 综上，可以有，对应的解分别为共9组解。 例4．证明：不定方程无整数解 解析：给我们的第一个印象是同为奇数或同为偶数。若同为偶数，则也就是，进一步有为奇数，因为奇数的平方模8余1，矛盾。若同为奇数，则需进一步讨论，关键是取模为多少比较好讨论。结合费马小定理如，则，从而，但是。比较两者我们就可以到相应的结论 例5．求证：存在无数组解且每个解都大于2009。 证明：观察有特解。从原方程可以得到。这说明从一组解可以得到另一组解。由于方程结构的对称性，不妨假设，则，主要是证明，这是因为。不断依次类推就可得到结论。 例6．（普特南竞赛题）求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解. 解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设，，即。若，从余数去讨论，，为奇数。，所以，，提取公因数，有，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。 为偶数，注意到。，，令，，观察最后两项，只能， ， ，从而 综上，考察到对称性，原方程恰有两组解： 例8．（09湖北）求不定方程的正整数解的组数． 解 令，，，则．先考虑不定方程满足的正整数解．，，． 当时，有，此方程满足的正整数解为． 当时，有，此方程满足的正整数解为． 所以不定方程满足的正整数解为 ． 又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 ． 例8．（09 巴尔干）求方程的正整数解。 解析：首先