山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理.doc

第25章 九点圆定理 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆． 如图25-1，设三条高，，的垂足分别为、、，三边、、的中点分别为、、，又、、的中点分别为、、，则、、、、、、、、九点共圆． 证法1联结，，，，则，即知为平行四边形，又，知为矩形．从而、、、四点共圆，且圆心为与的交点．同理，为矩形，从而、、、、、六点共圆，且，，均为这个圆的直径． 由，知，，三点也在这个圆上，故、、、、、、、、九点共圆． 证法2如图25-1，由，以及注意到是与的公共弦，知，有，亦即，从而知． 因此，、、、四点共圆． 同理，、、、四点共圆．即知、、、、五点共圆． 同理，、、、、以及、、、、；、、、、；、、、、分别五点共圆． 故、、、、、、、、九点共圆． 证法3如图25-1．联结、、、、、、、，则．注意到，，，则，即． 又，，而，则，即． 注意到，则． 由，有． 因，则． 同理，、、皆等于．即、、、、、、各点皆在以为直径的圆周上． 故、、、、、、、、九点共圆． 证法4如图25-1，注意到为平行四边形，，，则么，即知、、、四点共圆． 又（注意，），则知、、、四点共圆．即知、在上． 同理，、、、也在上． 故、、、、、、、、九点共圆． 证法5设的外心为，取的中点并记为，联结，以为圆心，为半径作圆，如图25-1所示． 由，知在圆上．同理，、也在圆上． 由（可由延长交的外接圆于，得为平行四边形，此时为的中点，则为的中位线即得），知．又，知，从而，且、、共线，故在圆上． 同理，、在圆上． 由、、共线知为圆V的一条直径． 又，，，知、、在圆上． 故、、、、、、、、R九点共圆． 上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆．显然，正三角形的九点圆即力其内切圆． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论： 推论1九点圆的圆心是其外心与垂心所连接线段的中点，九点圆的半径是的外位圆半径的． 注意到与是以垂心为外位似中心的位似形，位似比是，因此，可得． 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得 推论3的外心，重心，九点圆圆心，垂心，这四点（心）共线，且，，或和对于和是调和共轭的，即． 推论4的九点圆与的外接圆又是以的重心为内位似中心，位似比为12的位似形． 事实上，因为两相似三角形与的相似中心，而的外接圆即的九点圆． 推论5一垂心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆． 另外，我们还可推知如下结论： 结论1三角形的四个切圆（内切圆和三个旁切圆）与其九点圆相切，垂心组有四个三角形，故有16个切圆与此九点圆相切． 结论2垂心组的两个三角形的外心与已知垂心组各点，关于九点圆圆心对称．三角形的垂心组与其外心构成的垂心组有同一九点圆． 结论3垂心组的九点圆与此重心所成的另一垂心组的九点圆同心． 下面，运用九点圆定理处理一些问题： 例1（2001年全国高中联赛题）如图25-2，中，为外心，三条高，，交于点，直线和交于点，和交于点，求证： （1），． （2）． 证明（1）设的外接圆半径为，由相交弦定理，有 ，． 从而． 由，，，四点共圆，有 ， 即， 亦即 ． 故．同理，． （2）由九点圆定理的推论1，知的中点为△DEF的外心．又由D，E，A，B及D， ，，分别四点共圆，有 ，． 由此，即知，对的外接圆与的外接圆的幂相等，从而，在这两个外接圆的根轴上，即有，故． 例2（第31届预选题）如图25-3，中，为外心，是垂心，作，和的外接圆，依次记它们的圆心为，，，求证：，且这两个三角形的九点圆重合． 证明则，知外接圆的半径和外接圆的半径相等，从而，有是关于的对称点． 设是中点，则知，即． 又，则联结与的交点为的中心，即与互相平分于． 同理，，也经过且被它平分，从而与关于中心对称，故 ． 是九点圆的圆心．因此，这个圆关于作中心对称时不变，它也是的九点圆． 例3（1994年亚太地区数学奥林匹克题）给定非退化的，设外心为，垂心为，外接圆的半径为，求证：． 证明设是的重心，是九点圆的圆心，和对于和是共线且调和共轭的，考察以点为起点的向量，则 ． 因此 ． 仅当时等号成立，这是不可能的，故． 例4（第30届试题）如图25-4，锐角中，的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似，求证： （1）的面积是六边形面积的2倍． （2）的面积至少是的面积的4倍． 证明（1）令的内心为（），则又是的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，的外接圆是的九点圆，即知，，分别为，，的中点，于是得 ，． 从而． 同理，． 故． （2）由（1），有 ． 故