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2011北大自主招生数学详解版.pdf
2011 年北约等十三校联考自主招生数学试卷
厦门一中徐小平
1. 已知平行四边形的其中两条边长为3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长.
解一 ( 引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为
2 2 2
2(3 5 ) 6 4 2 .
解二 如图, 设 AB 3 , AD 5 , BD 6 , 则据余弦定理有 C B
2AB AD cos A AB 2 AD 2 BD 2 2 , 于是
AC 2 DC 2 AD 2 2DC AD cos CDA
D
2 2 A
3 5 2AB AD cos A 32 , 从而 AC 4 2 .
2. 求过抛物线y 2x 2 2x 1和y 5x 2 2x 3 的交点的直线方程.
解 由上述两方程消去二次项可得6x 7y 1 0 , 此即为过两抛物线交点的直线方程.
3. 在等差数列 n
{a } 中，a 13, a 3，数列{a } 的前 项和为S ，求数列{S } 的最小项，并指出其
n 3 7 n n n
值为何？
解 由a a 4d 可得公差 d 4 , 从而a 21 . 令214(x 1) 0 得x 6.25 , 故 {a }从第 7 项开
7 3 1 n
始为正, 所以 {S } 的最小项为S 66 .
n 6
4. 在ABC 中，a b 2c ，求证：C 600 .
证 根据正弦定理有sin A sin B 2sin C , 从而有
A B A B C C C A B C C
2sin cos 4sin cos sin cos 2sin cos ,
2 2 2 2 2 2 2 2
C 1 A B 1 C
导出sin cos , 注意到 C , 则有 , 从而 C .
2 2 2 2 2 6 3
5. 是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为 2，3 ，5，6，10，16？
解 设这四个正实数为 x
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