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高数课件3-1导数的概念要点
* 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* * 37-* 第3章 一元函数微分学
3.1 导数的概念
3.1.1 导数概念的产生背景
3.1.2 导数定义
3.1.3 函数的可导性与连续性的关系
3.1.4 变化率问题实例
3.1.1 导数概念的产生背景
导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念,却是英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
实例1——平面曲线的切线
如何定义曲线的切线?
不能以圆的切线定义“与曲线只有一个交点的直线为曲线的切线”作为曲线切线的定义.左图中直线l与曲线C只有一个交点,但l并不是C的切线;右图中l与C虽然有两个交点,但l却是C的切线关于切线的定义.
费马在1629年提出割线的方法,圆满地解决了这个问题.
定义3.1.1 设在平面直角坐标系中,有一条曲线C:及C上一点M0(x0,y0),在C上另取一点.作割线M0P,当点P沿C无限趋向于点M0时,
如果割线M0P趋向于一极限位置
M0T,就称直线M0T为曲线C在
点M0处的切线。
当点P沿C趋向于点M0,
即x→x0时,
割线M0P的斜率为
切线M0P的斜率为
如果上述极限存在,则可求出曲线C在点M0处的切线方程。
实例2——变速直线运动物体的瞬时的速度
设物体作直线运动的位置函数为,其中为物体经过时间后所在的位置(或坐标),求物体运动到时刻的瞬时速度.
在时刻物体位于处,在的附近任取时刻(或),则物体在和这个时间段内的平均速度为
。
当充分接近时,在实际问题中将此平均速度作为点瞬时速度的似近值,但并非精确值。令,如果此平均速度的极限存在,则其极限值就是物体在时刻的瞬时速度,即
。
从这两个典型例题中我们发现,有很多的实际问题尽管问题不同,但在解决问题时都可转化为同一极限问题
。
由于为在点处自变量的增量;是相应的函数的增量,上述极限就是当时增量之比的极限
。
它反映了在点处因变量随自变量变化而变化的快慢速度,即函数在点处关于的变化率.
这种变化率在许多学科都会遇到,同一学科中不同的问题,变化率的含义也不尽相同.由于这些实际问题的共性,在数学中有必要对于这种类型的极限进行研究,这样就产生了导数的概念.
定义3.1.2 设在点的某邻域内有定义,当自变量在点处取得增量 (仍在该邻域内)时, 取得增量,当时,如果增量之比极限存在,就称在点处可导或导数存在,并称该极限值为在点处的导数,记作或.
3.1.2导数定义
即
或者
如果增量之比的极限不存在,就称函数在点处不可导或导数不存在.
如果因使得函数在点x0处不可导,为方便起见,也称函数在点x0处的导数为,并记作.
如果函数在点处可导,则曲线C:在点M0处切线M0T的斜率。
切线M0T的方程为 。
当时,切线M0T的倾角为,其方程为。
相应的法线方程分别为
从几何上看,函数在点处可导,则曲线在点处有不垂直于轴的切线.
同理,物体在时刻的瞬时速度.
导数有时也称为变化率.
单侧导数
定义3.1.3 如果存在,就称在点处左可导(或右可导),其极限值称在点的左导数(或右导数),记作.即
定理3.1.1 函数在点处可导在点处既左可导又右可导,且.
(此结论适合于讨论分段函数分点处的可导性)
可导时
.
如果函数在内的每一点处都可导,就称函数在内可导,或称函数在内的可导函数。
如果函数在内可导,且在点处右可导,在点处左可导,就称函数在上可导,或称函数为 上的可导函数.
如果函数在内可导,或者在 上可导,则在每一点处的导数会随着的不同而变化,其导数值仍为的函数,称为函数在内或上的导函数,简称为函数的导数,记作或,即
并有
例3.1.1 求的导数,其中均为常数.
解
。
即
特别地,
⑴ 若,则,即常数的导数等于0.
表明:。
⑵ 若,则。
例3.1.2 求且的导数.
解
。
即 。
特别地,
如果,则.
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