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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线在点处的切线方程是__ _ . (2) 幂级数的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组 只有零解,则应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量的分布函数为 则=__________, . (5) 设随机变量的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设则当时 ( ) (A) 与是等价无穷小量 (B) 与是同阶但非等价无穷小量 (C) 是比较高阶的无穷小量 (D) 是比较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设为阶方阵且,则 ( ) (A) 中必有两行(列)的元素对应成比例 (B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) 中至少有一行(列)的元素全为0 (4) 设和均为矩阵,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 ( ) (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分15分,每小题5分) (1) 求极限 (2) 已知且的二阶偏导数都连续.求. (3) 求微分方程的通解. 四、(本题满分9分) 设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 , 且最大需求量为6,其中表示需求量,表示价格. (1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分) 五、(本题满分9分) 已知函数 试计算下列各题： (1) (4分) (2) (2分) (3) (1分) (4) .(2分) 六、(本题满分6分) 假设函数在上连续,在内可导,且,记 证明在内,. 七、(本题满分5分) 已知其中求矩阵. 八、(本题满分6分) 设. (1) 问当为何值时,向量组线性无关?(3分) (2) 问当为何值时,向量组线性相关?(1分) (3) 当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分) 九、(本题满分5分) 设 (1)试求矩阵的特征值；(2分) (2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.(3分) 十 、(本题满分7分) 已知随机变量和的联合密度为 试求：(1) ；(5分) (2) .(2分) 十一、(本题满分8分) 设随机变量在[2,5]上服从均匀分布,现在对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】 【解析】对函数两边对求导,得 令得所以该曲线在点处的切线的斜率为, 所以 切线方程是即为所求. (2)【答案】 【解析】因系数,从而 即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛. 当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散). 于是,幂级数的收敛域是. (3)【答案】 【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便. 而 所以当时.所以此题应填:. (4)【答案】, 【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有 . 对于,有 令 ,得到,其中.又 因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此 所以 (5)【答案】 【解