高等代数与解析几何1~4章习题答案.doc

高代与解几第二章自测题（一）行列式 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ ） 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ ） 时，级的奇排列共个. 二、填空题 1. 排列的逆序数，它是一个排列. 排列的逆序数是. 2. 设行列式,则，=. 3. 行列式＝的展开式中的系数是，常数项是. 4. 排列的逆序数是9，则排列 的逆序数是. 5. 设，则=. 证明题 3. （提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. （提示：爪型行列式） 高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组 判断题 如果矩阵有阶子式大于零,那么.（ ×） 如果矩阵没有非零子式，那么.（√ ） 如果矩阵的阶子式都等于零,那么.（ √） 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ） 若元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于.（√ ） 填空题 1. 矩阵的秩为2， 则的标准形为_______________. 2 若元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n . 计算与证明题 1. 求齐次线性方程组 的一般解. ＝ 取为自由未知量，得其一般解为：…… 2. 解线性方程组 解 方程组的增广矩阵为： B = ，….……………………………….. 2分 对B做行初等变换： B ，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为…… 3. 设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的数，证明：有唯一的数域上的多项式 使, 证明:要证有唯一的数域上的多项式 使 ,即要证有唯的一组数,使得 …… (2分) 即证方程组 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式 ……(5分) 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知, ……(7分) 又是数域中互不相同的数,故,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分) 4. 设是互不相同的数，是任意数，证明线性方程组 只有唯一解，并求出这个解. 证明: 观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式 = 是n阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，=，由于是互不相同的数，所以，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, ,其中是将系数行列式的第列换成 ， …… (7分) 显然依然是n阶范德蒙德行列式，且的值只是将的值中的地方换成，因此 (10分) 5. 假设有齐次线性方程组 当为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。 解 |A|= = 1- p，…………………………...…………. .4分 当 |A|0，即 p1，方程组有唯一解。……………..………….…. 6分 p = 1时，，……………………………. 9分 方程组的解为：……… 6. 问常数取何值时, 方程组 无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。 解 = -（k+1）（k - 4）。……………………….…….….………. ...3分 当 0，即 k-1，且 k 4 时，方程组有唯一解。.………. ...5分 k = -1时， ，方程组无解.…...8分 k = 4时， ，……………..…..10分 方程组的解为：………… 高代与解几第二章自测题（）向量线性空间部分组线性相关，则该向量组线性相关.（√） 集合不是的子空间.（×） 3. 设和是数域上线性空间的两个有限维线性子空间，则 （×） 4. 数域上非零线性空间可表示成它的两个真子空间的并集. （×） 5. 集合是的子空间.(√) 6. 同一数域上维数相同的两个有限维线性空间一定同构. （√） 7. 若向量组两两线性无关，则线性无关。（×） 8. 线性空间的维数与它定义的数域无关。（×） 9. 阶方阵的行向量组线性无关当且仅当它的行列式不等于零。（√） 10. 两个等价的向量组必含有相同个数的向量。（×） 11. 集合是的子空间.（√） 12 若向量组线性无关，则可由线性表示。（×） 13 若可由线性表示，则线性无关。（×） 二、填空题 若非零向量与向量线性相关，则_1:3:2__________. 2. 设，则的坐标是 (-3,4,-1) ． 3. 是的子空间， 3 ． 4. 的不等于零的子式的最大阶数是 3 ． 三、计算与证明题 证明:行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性． 证明: 设矩阵=,则其列向量组为 = 经过行初等变换后变为矩阵=，其列向量组为 = …… (3分) 那么，由中向量的标量乘法与