数学分析习题课1.1.doc

第一章 实数集与函数 习题课 实数集、确界原理与函数 一、基本要求： 1、掌握有关实数的性质与运算。 2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。 3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。 4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。 5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。 二、内容复习： 1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。有理数可用分数形式（为整数，）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。 2、实数的性质： (1) 封闭性：实数集对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的. (2) 有序性：任意两实数必满足下述三个关系之一：，，. (3) 传递性：若，，则. (4) 阿基米德性：对任何，若，则存在正整数，使得. (5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数. (6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系. 3、绝对值的定义： 从数轴上看，数的绝对值就是到原点的绝对值. 4、绝对值的性质： (1) ;当且仅当时有. (2) . (3) . (4)对任何有如下的三角不等式： . (5) . (6) . 5、区间与邻域的概念： 有限区间：设、，且 开区间：. 闭区间：. 半开半闭区间：或. 无限区间：， ， 邻域：设 点的邻域：. 点的空心邻域：. 点的左邻域：. 点的右邻域：. 邻域：，其中为充分大的正数（下同）. 邻域：；邻域：. 6、确界的定义： 确界是上确界与下确界的统称。 上确界的定义：设是中的一个数集。若满足： (i)对一切，有，即是的上界； (ii)对任何，存在，使得，即又是的最小上界， 则称数为数集的上确界，记作 . 下确界的定义：设是中的一个数集。若满足： (i)对一切，有，即是的下界； (ii)对任何，存在，使得，即又是的最大下界， 则称数为数集的下确界，记作 . 7、确界原理：设为非空数集。若有上界，则必有上确解；若有下界，则必有下确界。 8、函数的定义：给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个数，都有唯一的一个数与它对应，则称是定义在数集上的函数，记作 数集称为的定义域，所对应的数，称为在点的函数值，常记作，全体函数值的集合 称为函数的值域。 9、函数的表示方法：解析法（或公式法）、列表法和图像法。 10、复合函数 设有两个函数 记若，则对每一个，，可通过函数对应内唯一的一个值。而又通过函数对应唯一的一个值。这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，为因变量，记作 或， 称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量。函数和的复合运算也可简单的写作。 11、反函数 设函数 ，满足：对于值域中的每一个值，中有且只有一个值使得 .则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 或 . 12、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。 13、有界函数 设为定义在上的函数。若存在正数，使得对每一个有 ， 则称为上的有界函数。 14、单调函数 设为定义在上的函数。若对任何，当时，总有 (i) ,则称为上的增函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格增函数； (ii) ,则称为上的减函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格减函数； 增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。 15、奇函数和偶函数 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有 ， 则称为上的奇（偶）函数。 16、周期函数 设为定义在数集上的函数。若存在，对一切有 ，则称为周期函数，称为的一个周期。若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的基本周期，或简称周期。 三、例题： 例1、（Bernoulli不等式）设，则成立不等式 其中当时成立等号的充分必要条件是 证明 由于或不等式明显成立（且其中均成立等号），以下只需讨论和的情况. 将作因式分解，就可以得到 当时，在右边方括号内从第二项起都大于1，因此就有 在时右边方括号内从第二项起都小于1，因此方括号中表达式之和小于.由于，因此又得到 注1、 令，，则条件成立。将这个代入Bernoulli不等式中，就可以得到Bernoulli不等式的双参数形式如下。 设有，，则成立不等式，而且当时其中等号成立的充分必要条件是 2、当时不等式成立。它的证明可直接由二项式定理展开得到，同样当时不等式也成立。 例2、（算术平均值－几何平均值不等式）设是个非负实数，则成立