数学分析(华东师大)第一章实数集与函数.docx

第 一 章 实 数 集 与 函 数 §1 实 数 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数 .为此 , 我们先简要叙述 实数的有关概念 . 一 实数及其性质 在中学数学课程中 , 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成 .有理数可 用分数形式 p ( p、q 为整数 , q≠ 0 ) 表示 , 也 可用 有 限十 进小 数或 无限 十 进循 环 q 小数来表示 ; 而无限十进 不 循环 小数 则称 为 无 理数 .有理 数 和无 理 数统 称 为 实 数 . 为了以下讨论的需要 , 我们把有限小数 ( 包括整数 ) 也表示为无限小数 .对此 我们作如下规 定 : 对于 正有限 小数 ( 包括正 整数 ) x , 当 x = a0 . a1 a2 an 时 , 其 中 0≤ ai ≤9 , i = 1 , 2 , , n , an ≠0 , a0 为非负整数 , 记 x = a0 . a1 a2 ( an - 1) 999 9 , 而当 x = a0 为正整数时 , 则记 x = ( a0 - 1 ) .999 9 , 例如 2 .001 记为 2.000 999 9 ; 对于负有限小数 ( 包括负整数 ) y , 则先 将 - y 表 示为无限小数 , 再在所得无限小数之前 加负号 , 例 如 - 8 记 为 - 7.999 9 ; 又 规 定数 0 表示为 0.000 0 .于是 , 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 . 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法 .现定义两个实数的大小关系 . 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 . a1 a2 an , y = b0 .b1 b2 bn , 其中 a0 , b0 为非负整数 , ak , bk ( k = 1 , 2 , ) 为整数 , 0≤ ak ≤9 , 0≤ bk ≤9 .若有 ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , , 则称 x 与 y 相等 , 记为 x = y; 若 a0 b0 或存在非负整数 l , 使得 ak = bk ( k = 0 , 1 , 2 , , l ) 而 al + 1 bl + 1 , 则称 x 大于 y 或 y 小于 x , 分别记为 x y 或 y x . 2 第一章 实数集与函数 对于负实数 x , y, 若按上述规定分别有 - x = - y 与 - x - y , 则分别称 x = y 与 x y( 或 y x) .另外 , 自然规定任何非负实数大于任何负实数 . 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件 .为此 , 先给出如下 定义 . 定义 2 设 x = a0 . a1 a2 an 为非负实数 .称有理数 xn = a0 . a1 a2 an 为实数 x 的n位不足近似 , 而有理数  xn = xn + 称为 x 的n位过剩近似 , n = 0 , 1 , 2 , .  1 10 n 对于负实数 x = - a0 .a1 a2 an , 其 n 位 不 足近 似与 过剩 近似 分 别规 定 为 1 xn = - a0 .a1 a2 an - n 与 xn = - a0 .a1 a2 an . 10  注 不 难 看 出 , 实 数 x 的 不 足 近 似 xn 当 n 增大 时 不 减 , 即 有 x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ , 而过剩近似 xn 当 n 增大时不增 , 即有 x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ . 我们有以下的 命题 设 x = a0 .a1 a2 与 y = b0 . b1 b2 为 两个 实数 , 则 x y 的 等价 条 件是 : 存在非负整数 n , 使得 xn yn , 其中 xn 表示 x 的 n 位不足近似 , yn 表示 y 的 n 位过剩近似 . 关于这个命题的证明 , 以及关于实数的四则运算法则的定义 , 可参阅本书附 录Ⅱ第八节 . 例 1 设 x、y 为实数 , x y .证明 : 存在有理数 r 满足 x r y . 证 由于 x y , 故存在非负整数 n , 使得 xn yn .令 r = 1 ( x n + yn ) , 2 则 r 为有理数 , 且有 即得 x r y .  x ≤ xn r yn