数学分析第一章 1.1.doc

第一章 教学安排的说明 章节题目：实数集与函数 学时分配：共5学时 § 1 实数（1学时） § 2 数集.确界原理 （2学时） § 3 函数概念 ( 1学时 ) § 4 具有某些特性的函数 (1学时 ) 教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。 教学要求： 掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。 3、掌握基本初等函数的性质及其图形。 4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。 5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。 其他： ??????注: 第一章大部分内容中学学过。 课 堂 教 学 方 案 课题名称、授课时数： § 1 实数 1学时 § 2 数集 确界原理 2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学） 教学目的与要求： 1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,； 2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。 教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。 教学内容 首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分. 数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础. 实数集与函数 § 1 实 数 复习引新： 一、实数集及性质1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义. 2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 ─── 数轴: 3.两实数相等的充要条件: 二. 重要不等式 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: （1） （2） 均值不等式 （3） Bernoulli 不等式:有不等式 （4) 由二项展开式对 有 .在应用时根据需要确定右边的某一项(k的值)。 教学内容： 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念. ?一 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： 无理数：无限十进不循环小数. 为了以下讨论的需要，把无限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此作如下规定：对于正有限小数（包括正整数），当时，其中为非负整数，记 而当为正整数时，则记 例如：记为 ?；对于负无限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 ?；又规定数0 记为.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系. 实数大小的比较 定义1 ?给定两个非负实数 其中 为非负整数，为整数， 若有 则称 ?与 ?相等，记为；若，或存在非负整数 ，使得 则称 ?大于 （或 ?小于 ?），分别记为 （或）. 对于负实数，若按上述规定分别有与，则分别称与（或）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数. 实数的有理数近似表示 定义2 设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。 对于负实数 ? 的位不足近似值规定为：； 的位过剩近似值规定为： 例如 ，则它的 3位不足近似是，3位过剩近似是. 4位不足近似是，4位过剩近似是. 注 不难看出，实数的不足近似当增大时不减，即有，而过剩近似当增大时不增，即有. 比如 ??，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ?称为 的不足近似值