数学分析第13章.ppt

§1 一致收敛性 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛性判别法 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛性判别法 * * 第十三章函数列与函数项级数 首页 × §1 一致收敛性 §2一致收敛函数列与函数项级数的性质 首页 × 首页 × 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列，简记为 { fn } 或 fn , n = 1, 2, . . . 设 x0 ∈E , 将 x0 代入上述函数列，可得数列 若此数列收敛，则称 x0 为函数列 (1) 的收敛点，若此 数列发散，则称函数列 (1) 在 x0 发散． 首页 × 使函数列 (1) 收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数 列 (1) 的收敛域． 若函数列 (1) 在数集 D?E 上每一点都收敛，则称函数 列 (1) 在数集 D 上收敛． 记极限函数为 f , 则有 此极限的ε– N 的定义是：对任何 x∈D , 任给的ε 0 , 存在 N 0 , 使得当 n N 时，总有 | fn(x) – f (x) | ε 其中 N 既与ε有关也与 x 有关． 首页 × 对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛， 而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即 连续性、可微性、可积性． 为此讨论函数列的一致收敛性． 定义 1 设函数列 { fn } 与函数 f 都在数集 D 上有 定义, 若对任给的ε 0 , 存在 N 0 , 使得当 n N 时， 对任何 x∈D , 都有 | fn(x) – f (x) | ε 则称 { fn } 在 D 上一致收敛于 f ，记为 首页 × 若函数列 { fn } 在 D 上一致收敛，则必在 D 上每 一点都收敛，反之，不一定成立． 例2 证明函数列 在 (– ∞, +∞) 上一致收敛． 证 对任给的ε 0 , 取 N = 1/ε , 当 n N 时， 对任何 x∈(– ∞, +∞) , 都有 所以函数列 在 (– ∞, +∞) 上一致收敛于 0 ． 首页 × 函数列 { fn } 在 D 上不一致收敛于 f 的定义： 若存在ε0 0 , 对任何 N 0 , 都存在 n0 N ， 且存在 x0∈D , 使得 | fn0(x0) – f (x0) | ≥ε0 则称 { fn } 在 D 上不一致收敛于 f ． 首页 × 例 证明函数列 { xn } 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 ． 证 取 对任何正整数 N ， 当 n N 时， 取 则有 所以 { xn } 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 ． 首页 × 定理 13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在 D 上一致收敛于 f 的充要条件是： 对任给的ε 0 , 存在 N 0 , 使得当 n, m N 时， 对任何 x∈D , 都有 | fn(x) – fm (x) | ε． 首页 × 定理 13.2 函数列 { fn } 在 D 上一致收敛于 f 的 充要条件是： 首页 × 设 { un(x) } 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式 称为定义在 E 上的函数项级数，简记为 或 称 为函数项级数 (9) 的部分和函数列． 首页 × 若 x0 ∈E 时，数项级数 收敛，则称 x0 为函数项级数 (9) 的收敛点，若此级数 发散，则称函数项级数 (9) 在 x0 发散．函数项级数 (9) 在数集 D?E 上每一点都收敛，则称函数项级数 (9)在 D 上收敛．级数 (9)全体收敛点构成的集合 D 称为级数 (9) 的收敛域．级数 (9)在收敛域 D 上的和 S(x) 称为级 数 (9) 的和函数．记为 首页 × 即 函数项级数 (9) 的一致收敛性定义如下： 定义 2 设 { Sn(x) } 是函数项级数∑un(x) 的部分 和函数列 ．若 { Sn(x) } 在数集 D 上一致收敛于函数 S(x) ，则称函数项级数∑un(x)在数集 D 上一致收敛 于函数 S(x)，或称∑un(x)在 D 上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数 列的一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的 定理可推出相应的函数项级数的定理： 首页 × 定理 13.3