数学分析课件 一致收敛性.ppt

上讨论, 则由 上讨论这个级数, 则由 例6 讨论函数项级数 在 上一致 收敛性. 所以 于是 由 解得最大值点 , 故 解 当 时, ; 当 时 因此 在 上一致收敛. 注 当和函数容易求出时, 余项准则是比较好用的一种判别方法. 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 13 - 5 三、函数项级数的一致收敛判别法 判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西 准则或余项准则外, 有些级数还可以根据级数一般 项的某些特性来判别. 定理13.5 (魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法) 设函数项级数 为收 敛的正项级数， 返回 后页 前页 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 给正数 和 , x)表示三者之间 的值都有关, 所以有时也用N( 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 的收敛域. 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3) 例2 所以函数列 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行. 定义1 数集 上， 使当 时， 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现 显然, 若函数列 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意 给定的 取 上什么值, 都有 , , 所以函数列 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: 存在某正数 对任何正数 N, 都有某一点 的取值与 N 有关 ), ( 注意: 使得 由例1 中知道, 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 就有 号大于 与 状区域之内. 图 13-1 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 只限于在区间 上, 则容易看到, 只要 不能全部落在由 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列 曲线 就全部落在 所夹成的带状区域内，所以 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 在数集 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 对一切 , 都有 证 必要性 ， 任给 0, 存在正数N, 使得当 时, 对一切 都有 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 由定义1知, 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2（余项准则） 上一致 收敛于 的充分必要条件是: , 当 ,