数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法.pptx

拉普拉斯方程的格林函数法 分离变量法 积分变换法 行波法 格林函数法 格林函数法是经典的数学物理方法，不仅在数学领域、在很多工程技术领域应用广泛，如：量子力学、流体力学、材料科学、地震工程、海洋工程、大气科学等等 Green(1793-1841)：英国数学家、物理学家 格林出生在一个磨坊主家庭，童年辍学在父亲的磨坊干活，他一边干活一边自修数学和物理。 格林在1833─当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，4年后毕业获学士学位，1839年被聘为剑桥大学教授。 格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念，其意义远远超出了解位势方程。他首次研究了与求解数学物理边值问题密切相关的特殊函数─格林函数。 在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中包括了近代很多伟大的数学物理学家，如威廉.汤姆逊、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等。 1828年，格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》，当时并未引起人们注意，后来被英国数学物理学家汤姆逊发现，并认识到它的巨大价值。1854年，他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上，此时格林已逝世十三年了。格林的这篇论文，在数学和物理研究中，都有着重要的意义。 格林留下的著作虽然不多，但在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，都是数学物理中经典的内容。 格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。 格林函数法：从奥高公式到格林公式 取特定的P, Q, R，给定u(x, y, z), v(x, y, z)有二阶连续偏导数，在边界上有连续的一阶偏导数 第一格林公式，其中n为曲面微元dS的外法向矢量。 格林函数法：从奥高公式到格林公式 上述公式中，u和v交换位置，两式相减，得 称为第二格林公式 重要启示： 两个格林公式中，都存在Δu和Δv等项，正是Laplace算子。 这或许是格林函数法的思想源头。 若求解未知函数u，我们有很大的自由选择函数v 格林函数法：格林公式 u满足齐次Laplace方程 进一步计算Δu 格林函数法：格林公式 这个函数作为v，代入格林公式， 格林函数法：格林公式 这种情况在数学上如何处理？ 挖去点M0(x0, y0, z0) 以该点为中心的球，令半径趋于0 Σ 那么，Ω－Vε组成复连通域，其表面是Σ+Sε 格林函数法：格林公式 格林函数法：格林公式 对于内界面Sε，方向导数如下 格林函数法：格林公式 其中，P1和P2分别表示小球面Sε上的两个点， 当ε0时， P1和P2 M0，那么上式的极限是 格林函数法：格林公式 第三格林公式，M0是Ω中任意一点，r是点M到M0的距离。 如果在边界Σ上u和∂u/ ∂n已知，且Δu在Ω上已知，则 第三格林公式暗示了一个解。 狄利克雷问题 格林函数法：基本思想 上式表明，调和函数在区域中的值，可以用它及它的导数在区域边界上的值表示。 给定f和Ω，体积分可以求解。 此项根据不同边界条件求解，求解方法待续…… 格林函数法：调和函数的性质 性质（3）极值定理：设u在Ω内调和、在边界上连续且不为常数，则：它的最大最小值在边界上达到。 格林函数法：格林函数 狄利克雷问题 Laplace方程的特解形式（第三格林公式） 结合上述两式，得 至此，问题是不是就解决了呢？ 未解决，因为方程的右端含有未知量 思考：为什么不能将u=φ代入方向导数项。 格林函数法：格林函数 努力方向： 既然方向导数值无法获得，是否能消去该部分呢？ 上式源于何处？第二格林公式 格林函数法：格林函数 再来看u的外法线方向导数，要消去方向导数，则只要求，在界面Σ上r-1+g＝0。通过这个重要的项，定义格林函数 若满足：格林函数在界面Σ上等于0，即 格林函数法：格林函数 狄氏问题的积分解 以上过程，从一个狄氏问题转换到另一个狄氏问题。 格林函数法：格林函数 此解的重要意义 上述问题和φ无关，即与原问题的边界条件无关。 也就是说，给定一个区域Ω，只要求得格林函数G，则对任意的边界条件φ，可获得相应的狄氏问题的解。一劳永逸 而且，对于有些特殊形状的区域Ω，格林函数可解析表达； 在科学计算上，对任意形状的区域Ω，可通过数值方法求解上述方程。 似乎，问题并没有得到简化 求格林函数的方法：电象法 格林函数 区域内点M0处单位电荷在边界产生的电场 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，使得 这两个电荷产生的电位在边界上相互抵消. 那么，这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。 例1 求解下列定解问题 解： 例2 求解下列定解问题 解： 例3、四分之一空间的格林函数 例4、球内的格林函数 格林函数法（柯西问题） 努力方向： 既然方