数学应用与建模初步讲义.doc

数学应用与建模初步 胡建伦 重庆市垫江第五中学 2016年2月 目 录 前言……………………………………………………………………………………1 第1讲 1.1原型与模型………………………………………………………………2 1.2数学模型及其分类………………………………………………………2 1.3数学建模……………………………………………………………………3 第2讲讲讲讲前言 我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。”因此，我们在学习数学的时候都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的学习资源，在做中学数学、在实践中体验数学，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高对数学学习的兴趣，并增强学习数学的自信心。 全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。 数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展” ，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．数学建模重视数学知识，更突出数学思想方法，让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。 本课程主要是帮助学生用所学的初中知识建立数学模型来解决生活中的实际问题，进而培养学生应用数学的意识。 第1讲 1.1原型与模型 原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 1.2数学模型及其分类 1.2.1数学模型 数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。微分方程模型图论模型马氏链模型 （4）按人们对事物发展过程的了解程度分类白箱模型灰箱模型黑箱模型白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题灰箱模型那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题如气象学、生态学经济学等领域的模型黑箱模型一些其内部规律还很少为人们所知的现象如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。 按是否考虑模型的变化静态模型动态模型静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。按应用离散方法或连续方法分类离散模型连续模型模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。按是否考虑随机因素分类确定性模型随机性模型随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。 参数与非参数模型用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。 线性和非线性模型线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作