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2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第四篇第3讲三角函数的图象与性质
第3讲 三角函数的图象与性质
A级 基础演练(时间:分钟 满分:分)一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2011·山东)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=( ).
A. B. C.2 D.3
解析 由题意知f(x)的一条对称轴为x=,和它相邻的一个对称中心为原点,则f(x)的周期T=,从而ω=.
答案 B
2.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,则θ的值为( ).
A.0 B. C. D.
解析 据已知可得f(x)=2sin,若函数为偶函数,则必有θ+=kπ+(kZ),又由于θ,故有θ+=,解得θ=,经代入检验符合题意.
答案 B
3.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ).
A.2- B.0 C.-1 D.-1-
解析 0≤x≤9,-≤x-≤,-≤sin≤1,-≤2sin≤2.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.
答案 A
4.(2011·安徽)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.若f(x)≤对xR恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是( ).
A.(kZ)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由f(x)=sin(2x+φ),且f(x)≤对xR恒成立,f=±1,即sin=±1.
+φ=kπ+(kZ).φ=kπ+(kZ).
又ff(π),即sin(π+φ)sin(2π+φ),
-sin φsin φ.sin φ0.
∴对于φ=kπ+(kZ),k为奇数.
f(x)=sin(2x+φ)=sin=-sin.
由2mπ+≤2x+≤2mπ+(mZ),
得mπ+≤x≤mπ+(mZ),
f(x)的单调递增区间是(mZ).
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x时,f(x)=sin x,则f的值为________.
解析 f=f=f=sin =.
答案
6.若f(x)=2sin ωx(0ω1)在区间上的最大值是,则ω=________.
解析 由0≤x≤,得0≤ωx≤,
则f(x)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin =,且0,
所以=,解得ω=.
答案
三、解答题(共25分)
7.(12分)设f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.
解 (1)由1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知:
定义域为{x|2kπ+π≤x≤2kπ+,kZ}.
(2)-1≤sin x≤1,-1≤1-2sin x≤3,
1-2sin x≥0,0≤1-2sin x≤3,
f(x)的值域为[0,],
当x=2kπ+,kZ时,f(x)取得最大值.
8.(13分)(2013·东营模拟)已知函数f(x)=cos+2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴;
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
解 (1)f(x)=cos+2sinsin
=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x
=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin.
最小正周期T==π,由2x-=kπ+(kZ),
得x=+(kZ).
函数图象的对称轴为x=+(kZ).
(2)x∈,2x-,
-≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2012·新课标全国)已知ω0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是( ).
A. B.
C. D.(0,2]
解析 取ω=,f(x)=sin,其减区间为,kZ,显然kπ+,kπ+π,kZ,排除B,C.取ω=2,f(x)=sin,其减区间为,kZ,显然,kZ,排除D.
答案 A
2.已知ω0,0φπ,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ).
A. B. C. D.
解析 由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π,故ω=1,f(x)=sin(x+φ),令x+φ=kπ+(kZ),将x=代入可得φ=kπ+(kZ),0φπ,φ=.
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2013·徐州模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是________.
解析 f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|
=
画出函数f(x)的图象,可得函数的最小值为-1,最大值
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