2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第二篇第8讲函数与方程.doc

第8讲 函数与方程 A级　基础演练(时间：分钟　满分：分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f′(x)＝cos x－1≤0，f(x)单调递减，又f(0)＝0，则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的． 答案　B 2．(2013·模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(　　)． A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　f(x)＝ex＋x－4，f′(x)＝ex＋10，函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C. 答案　C 3．(2013·期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)． A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析　由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解之得0a3. 答案　C 4．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7. 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为________． 解析　设n为自然数，则当nx≤n＋1时，f(x)＝(x－n－1)2，则当x0时，函数f(x)的图像是以1为周期重复出现．而函数y＝x＋a是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a＝1)时与函数f(x)的图像交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a1. 答案　(－∞，1) 6．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________． 解析　本题即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝. 即或和或 得x＝－3或x＝和x＝－或x＝. 答案　 三、解答题(共25分) 7．(12分)设函数f(x)＝(x0)． (1)作出函数f(x)的图像； (2)当0ab，且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解　(1)如图所示． (2)f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0ab且f(a)＝f(b)， 得0a1b，且－1＝1－，＋＝2. (3)由函数f(x)的图像可知，当0m1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根． 8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1. (1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值； (2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围． 解　由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a. (1)f′(1)＝3＋4－a＝4，a＝3. (2)法一　当g(－1)＝－a－1＝0，a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－(－1,1)； 当g(1)＝7－a＝0，a＝7时，f′(x)的零点x＝－(－1,1)，不合题意； 当g(1)g(－1)0时，－1a7； 当时，－≤a－1. 综上所述，a. 法二　g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x在(－1,1)有公共点．作图可得a. 或者又等价于当x(－1,1)时，求值域． a＝3x2＋4x＝32－. B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2011·陕西)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)． A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 解析　令f(x)＝0，得＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数y＝与y＝cos x的图像如图所示，由图像知，两个函数只有一个交点，从而方程＝cos x只有一个