2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练专题7第4讲随机变量及其分布列(理)].doc

专题七　一、解答题 1．(2014·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是美丽绿城行标志的概率是.” (1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数； (2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望． [解析]　(1)设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A, 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P()＝， 由对立事件的概率知P(A)＝1－P()＝. 即P()＝＝，解得n＝3. (2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖， P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝·＋·＝， P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝，则η的分布列为： η 1 2 3 Ρ 所以Eη＝1×＋2×＋3×＝. 2．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． [解析]　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则 P(A)＝＝. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能值为0、1、2、3. P(X＝k)＝(k＝0、1、2、3) 所以，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下： 一次购物款(单位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，＋∞) 顾客人数 m 20 30 n 10 统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率) (1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量； (2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望． [解析]　(1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%， n＝20； m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20. 该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×＝3000件． (2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率 p＝＝. 故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，)． P(ξ＝0)＝C()0()4＝， P(ξ＝1)＝C()1()3＝， P(ξ＝2)＝C()2()2＝， P(ξ＝3)＝C()3()1＝， P(ξ＝4)＝C()4()0＝， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ξ数学期望为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 或由Eξ＝4×＝. 4．(2014·湖南理，17)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望． [分析]　(1)由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率，求至少有一种新产品研发成功的概率可用对立事件求解． (2)先依据A、B产品研发成功的可能性确定利润ξ的取值，再依据独立事件概率求分布列和期望． [解析]　(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为两种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为、. 则P(B)＝(1－)×(1－)＝×＝， 再根据对立事件概率之间的公式可得