2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练专题2第5练(好基本不等式).docx

第5练　如何用好基本不等式[内容精要]　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．题型一　利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1　(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)A．0B.C．2D.(2)函数y＝的最大值为________．破题切入点　(1)利用基本不等式确定取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x＋2y－z的最大值．(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案　(1)C　(2)解析　(1)＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.故选C.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t0，即x1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．题型二　利用基本不等式求最值的综合性问题例2　如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝，求d的最大值．破题切入点　(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值．解　(1)y2＝2px(p0)的准线x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)．且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立．又m＝满足Δ＝4m－4m20，∴d的最大值为1.总结提高　(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(　　)A．avB．v＝C.vD．v＝答案　A解析　设甲、乙两地之间的距离为s.∵ab，∴v＝＝＝＝.又v－a＝－a＝＝0，∴va.2．若函数f(x)＝x＋ (x2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4答案　C解析　∵x2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.3．设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.答案　B解析　因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．4．已知m＝a＋(a2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为(　　)A．mnB．mnC．m≥nD．m≤n答案　C解析　m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a2)，当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　∵x0，y0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，max＝2.∴λ的最小值为2.6．已知a0，b0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)A．4B．16C．9