2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练专题4第23练(平面向量中的线性问题).docx

第23练　平面向量中的线性问题[内容精要]　平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点．题型一　平面向量的线性运算例1　如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)A.－B.＋C.＋D.－破题切入点　顺次连接，选好基底．答案　D解析　在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.题型二　平面向量基本定理及其应用例2　如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.破题切入点　利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量．解　在△ADM中，＝－＝c－.①在△ABN中，＝－＝d－.②由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．题型三　平面向量的坐标运算例3　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.破题切入点　向量坐标表示下的线性运算．解　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．由题意得得或∴d＝(3，－1)或(5,3)．总结提高　(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础．(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)A．(，－) B．(，－)C．(－，) D．(－，)答案　A解析　由题意知＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝(，－)．2．(2014·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.3．(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　∵＝＋λ，＝＋μ，∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝·＋μ·＋λ·＋λμ·＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝.①∵·＝(1－λ)·(1－μ)＝(λμ－λ－μ＋1)·＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②由①②解得λ＋μ＝.4．(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)A.B．2C．3D．4答案　D解析　因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.5.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝2，||＝，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　)A．λ＝4，μ＝2B．λ＝，μ＝C．λ＝2，μ＝D．λ＝，μ＝答案　C解析　设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有＝4a＋2b，又＝2a，＝b，则＝2＋，所以λ＝2，μ＝.6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n (m，n0)，则＋的最小值为(　　)A．2B．4C.D．9答案　C解析　＝－＝－＝＋.同理＝＋，M，O，N三点共线，故＋＝λ，即＋＝0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　解析　如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.8．(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝_