2015届高考数学二轮专题训练专题三第1讲三角函数的图象与性质.doc

第1讲　三角函数的图象与性质 考情解读　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点． 1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 2．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心： (，0)(k∈Z) 3.三角函数的两种常见变换 (1)y＝sin x y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)． (2)y＝sin x y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)． 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 例1　(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　) A．(－，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________． 思维启迪　(1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)设Q点的坐标为(x，y)， 则x＝cos＝－，y＝sin＝. ∴Q点的坐标为(－，)． (2)原式＝＝tan α. 根据三角函数的定义， 得tan α＝＝－， ∴原式＝－. 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 　(1)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________. (2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　(1)　(2)D 解析　(1)由三角函数定义， 得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2α＝2×2＝. (2)tan θ＝＝＝－1， 又sin 0，cos 0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. 热点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式 例2　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为(　　) A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(2x－) (2)若函数y＝cos 2x＋sin 2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________． 思维启迪　(1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－”即可． (2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案　(1)D　(2)(－2，－1] 解析　(1)由图知，A＝1，＝－，故T＝π＝， 所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中， 得sin(＋φ)＝1，又|φ|，故φ＝. 则f(x)＝sin(2x＋)向右平移后， 得到y＝sin[2(x－)＋)＝sin(2x－)，选D. (2)由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a， 该函数在[0，]上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋)在[0，]上有两个不同的交点． 结合函数的图象可知1≤－a2，所以－2a≤－1. 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准