2015届高考数学二轮专题训练专题七第1讲排列组合与二项式定理.doc

第1讲　排列、组合与二项式定理 考情解读　1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等． 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝. (2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 C＝或写成C＝. (3)组合数的性质 ①C＝C； ②C＝C＋C. 3．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…. ②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…＝·2n＝2n－1. 热点一　两个计数原理 例1　(1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　) A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 (2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为(　　) A．240 B．204 C．729 D．920 思维启迪　(1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类． 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个； 余下两个数字按从小到大只有一种方法． 共有2×3＝6种结果，故选A. (2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种； 当中间数为3时，有2×3＝6种； 当中间数为4时，有3×4＝12种； 当中间数为5时，有4×5＝20种； 当中间数为6时，有5×6＝30种； 当中间数为7时，有6×7＝42种； 当中间数为8时，有7×8＝56种； 当中间数为9时，有8×9＝72种． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种． 思维升华　(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 　(1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 (2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为(　　) A．8 B．9 C．26 D．27 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75(种)． (2)因为值域为{0,1,2}即ln(x2＋1)＝0x＝0， ln(x2＋1)＝1x＝±， ln(x2＋1)＝2x＝±，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，CCC＝4，②当定义域中有4个元素时，CC＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数． 热点二　排列与组合 例2　(1)(2014·重庆)某次联欢