2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习专题八第3讲分类讨论思想].doc

第3讲　分类讨论思想 1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.  热点一　由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 例1　(1)(2014·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________． (2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________. 答案　(1)a≤　(2)或6 解析　(1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤. (2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，显然成立； 当q≠1时，由题意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去)． 当q＝－时，a1＝＝6.综上可知，a1＝或a1＝6. 思维升华　(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． 　(1)已知函数f(x)＝满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为(　　) A．log23 B. C. D．1 (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)分两种情况分析，①或者②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故选C. (2)∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列； 当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列． 热点二　由图形位置或形状引起的讨论 例2　(1)不等式组表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)． (2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________． 答案　(1)20　(2)或 解析　(1)画出不等式组表示的平面区域(如图)． 结合图中的可行域可知 x∈[－，2]，y∈[－2,5]． 由图形及不等式组，知 当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点； 当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点； 当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点； 当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点； 所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)． (2)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 所以圆锥曲线T的离心率为或. 思维升华　求解有关几何问