2015届高考数学二轮解题方法篇专题3解题策略第2讲.doc

第2讲　参数法在解题中的应用 [方法精要]　在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法． 应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某 些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果． 参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题． 题型一　参数法在函数问题中的应用 例1　定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(0)； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 破题切入点　(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解　令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， 即f(0)＝0. (2)证明　令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)， 即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立， 所以f(x)是奇函数． (3)解　方法一　因为f(x)在R上是增函数， 又由(2)知f(x)是奇函数． f(k·3x)－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)， 所以k·3x－3x＋9x＋2， 32x－(1＋k)·3x＋20对任意x∈R成立． 令t＝3x0，问题等价于t2－(1＋k)t＋20对任意t0恒成立． 令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝， 当0即k－1时，f(0)＝20，符合题意； 当≥0即k≥－1时，对任意t0，f(t)0恒成立解得－1≤k－1＋2. 综上所述，当k－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立． 方法二　由k·3x－3x＋9x＋2，得k3x＋－1. u＝3x＋－1≥2－1,3x＝时，取“＝”，即u的最小值为2－1， 要使对x∈R，不等式k3x＋－1恒成立， 只要使k2－1. 题型二　参数法在数列问题中的应用 例2　设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项． 破题切入点　求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量． 解　(1)设公差为d，则a－a＝a－a， 由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)， 因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0， 又由S7＝7得7a1＋d＝7， 解得a1＝－5，d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 前n项和Sn＝n2－6n. (2)因为an＝2n－7， 所以＝， 设2m－3＝t，则＝＝t＋－6， 所以t为8的约数． 又因为t是奇数，所以t可取的值为±1， 当t＝1时，m＝2，t＋－6＝3,2×5－7＝3＝a5是数列{an}中的项； 当t＝－1时，m＝1，t＋－6＝－15， 数列{an}中的最小项是－5，故不是数列中的项． 所以满足条件的正整数m的值是m＝2. 题型三　参数法在不等式中的应用 例3　已知2x＝3y＝5z，试比较2x、3y、5z的大小． 破题切入点　本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较． 解　设2x＝3y＝5z＝t(t1)， 则x＝log2t，y＝log3t，z＝log5t， 所以2x－3y＝2log2t－3log3t ＝－＝lgt() ＝lgt()， 因为lgt0，0， 所以lgt()0， 所以2x3y； 同理5z－2x＝lgt()0， 所以5z2x3y. 题型四　参数法在解析几何中的应用 例4　(2013·浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|M