2015届高考数学文二轮专题训练专题六第3讲圆锥曲线中的热点问题.doc

第3讲　圆锥曲线中的热点问题 考情解读　1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ0时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝|x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝， |y2－y1|＝. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 热点一　圆锥曲线中的范围、最值问题 例1　(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程； (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程． 思维启迪　(1)P点是椭圆上顶点，圆C2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l1的斜率为k，将△ABD的面积表示为关于k的函数． 解　(1)由题意得 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k， 则直线l1的方程为y＝kx－1. 又圆C2：x2＋y2＝4， 故点O到直线l1的距离 d＝， 所以|AB|＝2＝2. 又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0. 由 消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0， 故x0＝－. 所以|PD|＝. 设△ABD的面积为S， 则S＝|AB|·|PD|＝， 所以S＝≤＝， 当且仅当k＝±时取等号． 所以所求直线l1的方程为y＝±x－1. 思维升华　求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域． 　已知椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点P(1，)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且＝λ，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值． 解　(1)e＝＝，P(1，)满足＋＝1， 又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3， ∴椭圆标准方程为＋＝1. (2)显然直线PQ不与x轴重合， 当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|＝3，|F1F2|＝2， S△PF1Q＝3； 当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入椭圆C的标准方程， 整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0， Δ0，y1＋y2＝，y1·y2＝. ＝×|F1F2|×|y1－y2|＝12， 令t＝3＋4k2，∴t3，k2＝， ∴＝3， ∵0， ∴∈(0,3)， ∴当直线PQ与x轴垂直时最大，且最大面积为3. 设△PF1Q内切圆半径为r， 则S△PF1Q＝(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3. 即rmax＝，此时直线PQ与x轴垂直，△PF1Q内切圆面积最大， ∴＝，∴λ＝1. 热点二　圆锥曲线中的定值、定点问题 例2　(2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上． (1)求