专题提升十五 巧用旋转进行证明与计算.ppt

全效学习 中考学练测 全效学习 中考学练测 全效学习 中考学练测 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 【教材原型】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．(浙教版九上P110第5题) 图Z15－1 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】　旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口． 教材原型答图 【中考变形】 1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③ 图Z15－2 FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中结论正确的个数是 (　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶ P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝ (　 　) 图Z15－3 B 【解析】　如答图，连结AP，PP′， ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′， ∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°， ∴∠ABP＝∠CBP′. 在△ABP和△CBP′中， 中考变形2答图 3．如图Z15－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． (1)求n的值； (2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由． 图Z15－4 解：(1)∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC， ∴CD＝CA， ∴△ACD是等腰三角形． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴n＝60； 4．[2016·乳山期中]如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD. (1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； (3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 图Z15－5 解：(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD＝AC. 证明： 如答图①，延长BD交AC于点F. ∵AE⊥BC于点E， ∴∠BED＝∠AEC＝90°. ∵AE＝BE，DE＝CE， ∴△DBE≌△CAE(SAS)， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE. ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠ACE. ∵∠ACE＋∠CAE＝90°， ∴∠ADF＋∠CAE＝90°， ∴BD⊥AC； 中考变形4答图① (2)否 证明：如答图②，AC与BD交于点F， ①∵∠AEB＝∠DEC＝90°， ∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， 即∠BED＝∠AEC. ∵AE＝BE，DE＝CE， ∴△BED≌△AEC(SAS)， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE. ∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°， ∴BD⊥AC； 中考变形4答图② 中考变形4答图③ (3)如答图③，AC与BD交于点F. ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°， ∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， 5．[2015·唐山期末]阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． (1)请你回答：图①中∠APB的度数等于___________； 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 150° 解：(1)如答图①，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，