2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷).doc

2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷） 数学 本试卷分第（选择题）和第（非选择题）。第1至2页，第3至4页150分。考试时间120分钟。 第 （选择题 共50分） 一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。 1、，集合，则（ ） （B） （C） （D） 2、是虚数单位，则复数（ ） （B） （C） （D） 3、的值为（ ） （B） （C） （D） 4、且图象关于原点对称的函数是（ ） （B） （C） （D） 5、的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则（ ） （B） （C） （D） 6、，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有（ ） 个 （B）个 （C）个 （D）个 7、为平行四边形，，。若点，满足，，则（ ） （B） （C） （D） 8、，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ） 9、（，）在区间上单调递减，那么的最大值为（ ） （B） （C） （D） 10、与抛物线相交于，两点，与圆（）相切于点，且为线段的中点。若这样的直线恰有条，则的取值范围是（ ） （B） （C） （D） 第 （非选择题 共100分） 注意事项： 0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 共11小题。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、的展开式中，含的项的系数是____________（用数字填写答案）。 12、____________。 13、（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）。若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是____________小时。 14、和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，，分别为，的中点。设异面直线与所成的角为，则的最大值为____________。 15、，（其中）。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题： ①对于任意不相等的实数，，都有； ②对于任意的及任意不相等的实数，，都有； ③对于任意的，存在不相等的实数，，使得； ④对于任意的，存在不相等的实数，，使得。 其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分12分) （）的前项和满足，且，，成等差数列。 （Ⅰ）的通项公式；（Ⅱ）的前项和为，求使得成立的的最小值。 17、(本小题满分12分) ，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了名男生、名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取人、女生中随机抽取人组成代表队。 （Ⅰ）中学至少有名学生入选代表队的概率； （Ⅱ）名队员中随机抽取人参赛。设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望。 18、(本小题满分12分) 的中点为，的中点为。 （Ⅰ），，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 19、(本小题满分12分) ，，，为平面四边形的四个内角。 （Ⅰ）； （Ⅱ），，，，， 求的值。 20、(本小题满分13分) ：（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点。当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。 （Ⅰ）的方程； （Ⅱ）中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 21、(本小题满分14分)，其中。 （Ⅰ）是的导函数，讨论的单调性； （Ⅱ），使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。