2016届高三数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第9课二次函数【要点导学】.doc

要点导学　各个击破 求二次函数的解析式 　已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求二次函数f(x)的解析式. [思维引导]由不等式f(x)-2x的解集为(1,3),可先把f(x)表示出来,再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根求出a,从而求出f(x)的解析式. [解答]因为f(x)+2x0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0. 于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的实数根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-. 又a0,所以a=-.将a=-代入①,得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-. [精要点评]二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系.一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系. 【题组强化·重点突破】 1. 已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是　　　　　　. [答案]y=3x2-6x [解析]待定系数法求解析式. 2. (2014·大同模拟)已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-=0有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式. [解答]由f(x)=f(2-x),得对称轴x=1,所以b=1, 由方程f(x)-=0,即x2-2x+=0有两个相等的实数根, 得Δ=4-4×=0,解得a=4. 所以f(x)=x2-2x+4. 3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=-1,对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,且f=f,求函数f(x)的解析式. [解答]由f(x)=ax2+bx+c(a≠0)及f(0)=-1,得c=-1. 又对任意的x∈R,有f=f, 所以f(x)图象的对称轴为直线x=-, 则-=-,a=b. 又对任意的x∈R都有f(x)≥x-1, 即ax2+(b-1)x≥0对任意的x∈R成立, 所以故a=b=1. 所以f(x)=x2+x-1. 二次函数的图象和性质 　(2014·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5. (1) 若不等式f(x)0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围; (2) 若a1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值. [思维引导](1) 通过恒等变换将x2-2ax+50对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价转换为2ax+对x0恒成立,然后求出实数a的取值范围; (2) 利用函数的单调性和函数f(x)的定义域和值域的关系求出实数a的值. [解答](1) 因为x2-2ax+50对任意的x∈(0,+∞)恒成立, 所以2ax+对x0恒成立. 因为x0,所以x+≥2,当且仅当x=,即x=时取等号, 所以=2,所以2a2,即a. 故实数a的取值范围是(-∞,). (2) 因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a1),所以f(x)在[1,a]上为减函数, 所以f(x)的值域为[f(a),f(1)],而已知值域为[1,a], 所以解得a=2. 　(2014·屯溪一中)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在[0,3]上有最大值4和最小值1,求a,b的值. [解答]g(x)=a(x-1)2+1+b-a, 因为a0,对称轴为x=1,所以g(x)在区间[0,3]上是先减后增, 且g(x)min=g(1),g(x)max=g(3), 故即解得 一元二次方程实根的分布问题 　已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与x轴非负半轴至少有一个交点,求实数a的取值范围. [思维引导]本题可从韦达定理的角度进行考虑,也可从函数的角度进行探究. [解答]方法一:由题意知关于x的方程x2-(2a-1)x+a2-2=0至少有一个非负实数根,设其根为x1,x2,则或解得-≤a≤,故实数a的取值范围是. 方法二:由题意知f(0)≤0或,解得-≤a≤,故实数a的取值范围是. [精要点评]利用一元二次方程根的分布规律来解题时,首先应考虑实际问题中包含几种根的分布情况,利用数形结合的思想,再针对各种情况列出符合的条件,进一步求解出结果. 　(2014·江苏模拟)若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x10x22,求k的取值范围. [解答]构造函数f(x)=x2+2kx-1,因为关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1