2016届高三数学复习第八章第七节空间角与距离.doc

A组　专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 (2015·泰安模拟)已知向量mn分别是直线l和平面α的方向向量和法向量若〈mn〉＝－则l与α所成的角为(　　) 解析　设l与α所成角为θ〈mn〉＝－又直线与平面所成角θ满足0＝＝30 答案　 2．(2015·广州模拟)在正方体ABCD－A中分别为棱AA和BB的中点则〈〉的值为(　　) B. C. D. 解析　设正方体棱长为2以D为坐标原点为x轴为y轴为z轴建立如图所示空间直角坐标系可知＝(2－2)，＝(2－1) cos〈〉＝－in〈〉＝ 答案　 3．(2014·石家庄调研)设正方体ABCD-A的棱长为2则点D到平面A的距离是(　　) B. C. D. 解析　如图建立空间直角坐标系则D(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， ∴＝(2)，＝(2)，＝(2)， 设平面A的法向量n＝(x)， 则令x＝1则n＝(1－1－1)． 点D1到平面A的距离 ＝＝＝ 答案　 4．(2014·江西南昌质检)二面角α-l-β等于120、B是棱l上两点、BD分别在半平面α、β内且AB＝AC＝BD＝1则CD的长等于(　　) . B. C．2 D. 解析　如图二面角α-l-β等于120 ∴与夹角为60 由题设知⊥， ⊥，||＝|＝|＝1 ||2＝|＋＋ ＝|＋|＋|＋2＋2＋·＝3＋2×＝4|＝2. 答案　 二、填空题 (2015·青岛模拟)在长方体ABCD-A中＝2＝AA＝1则D与平面A所成角的正弦值为________． 解析　以D为原点为x轴为y轴为z轴建立空间直角坐标系 设n＝(x)为平面A的法向量 则n·＝0n·＝0 即令z＝2则y＝1＝2 于是n＝(2)，＝(0)， sin α＝|cos〈n〉|＝ 答案　 一年创新演练 已知正方形ABCD的边长为4平面ABCD＝2分别是AB的中点则点C到平面GEF的距离为________． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz则＝(0)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n＝(1)，所以点C到平面GEF的距离为d＝＝ 答案　 如图三棱锥中＝PB＝PC＝＝CB＝ (1)求点B到平面PAC的距离； (2)求二面角C-PA-B的余弦值． 解　取AB中点O连接OP ∵CA＝CB＝＝90 ∴CO⊥AB，且AB＝2＝1. ＝PB＝B，且PO＝＝＋OC＝3＝PC ∴∠POC＝90即PO⊥OC. 两两垂直． 如图所示分别以OA所在直线为x轴建立空间直角坐标系则各相关点的坐标为A(1)，B(－1)，C(0，1，0)，P(0，0，)． (1)设平面PAC的一个法向量为n＝(x)，则 ＝(－1)，＝(1－) ∴，∴x＝y＝ ∴n＝(，1)．∵＝(－2)， ∴点B到平面PAC的距离为 ＝＝＝ (2)＝(0)是平面PAB的一个法向量〈n〉＝＝ 综合图形可见二面角C-PA-B的大小为锐角 ∴二面角C-PA-B的余弦值为 B组　专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 (2014·宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABC-A的侧棱长与底面边长相等则AB与侧面ACC所成角的正弦值等于(　　) B. C. D. 解析　法一　取A的中点E连接AE、B 由题易知B平面ACC 则∠B为AB与侧面ACC所成的角．令正三棱柱侧棱长与底面边长为1则＝＝＝故选 法二　如上图以A中点E为原点建立空间直角坐标系E-xyz设棱长为1则 (，0，1)，B1(0，，0)，设AB与面ACC所成角为θ 则＝|〈〉| ＝＝ 答案　 二、填空题 (2014·江苏徐州一模)将锐角A为60边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角则A与C之间的距离为________． 解析　设折叠后点A到达A点的位置取BD的中点E连接A、CE. A1E. ∴∠A1EC为二面角A的平面角． ＝60又A＝CE ∴△A1EC是等边三角形． ＝CE＝A＝a. 即折叠后点A与C之间的距离为 答案　 三、解答题 (2014·南京模拟)如图是以∠ABC为直角的三角形⊥平面ABC＝BC＝2＝4.M分别是SC的中点． (1)求证：MN⊥AB； (2)求二面角S-ND-A的余弦值； (3)求点A到平面SND的距离． 解　以B为坐标原点为x轴的正方向垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图)． (1)证明　由题意得A(0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)． 所以：＝(－1－1)＝(0－4)，·＝0 (2)设平面SND的一个法向量为m＝(x)， 则：m·＝0且m·＝0. ＝(0－2－2)＝(－1)， ∴即 令z＝1得：x＝－2＝－1 ∴m＝(－2－1)． 又平面AND的法向量为n＝(0)，cos〈mn〉＝＝ 由