(2.1)第一节导数的概念(少学时简约型)..ppt

在上述导数计算中用到了三角函数的重要极限。 这一情形是必须注意的，因为 cos x 是最基本的三角 函数，各类三角及反三角函数导数计算都要用到此导 数结果。同时，积分学基本公式又是由导数公式逆转 而来的。因此该极限是微积分计算的一个重要支柱。 重要极限 是在弧度制下导出的，其特 点是形式简单，应用方便。但若不在弧度制下其形式 就不会如此简洁，相应由此导出的其它结果也会变得 繁杂。 在设圆心角在度分秒制下的角度值为? 度，在弧 度制下的角度值为 x 弧度，则由二者的换算关系有 ? =( 180/? )x，故 x → 0 ? ? → 0 . 由于 sin? = sin x，故下在度分秒制下有 即下在度分秒制下有 而在弧度制下，( cos x )? = - sin x . 可见，在弧度制下导数计算公式是最简洁的。 例：求函数 f( x )= a x ( a 0,a ? 1 )的导数。 于是求得 ( a x )? = a x lna，x?( - ? ,+ ? ). 特殊地，当 a = e 时有 ( e x )? = e x ，x?( - ? ,+ ? ). 按定义计算导数 例：设 f( x )= log a x ( a 0 ,a ? 1 )，求 f ?( x ). 故求得 特殊地，当 a = e 时有 按定义计算导数 在如果没有极限结果 ，对数函数的 导数就无法求出。相应地，指数函数的导数也无法导 出。而对数函数和指数函数都是基本初等函数。因此, 该极限也是微积分计算的又一支柱。 由上计算结果可见，当对数函数及指数函数底数 为 e 时，其相应的导数计算特别简单。对作为运算工 具的对数函数及指数函数而言，关键是利用它们的性 质，取什么样的数为底并不特别重要。因此为计算上 方便，在各类工程计算中大都采用以 e 为底的对数函 数和指数函数。 例：试证： ① 若 f( x )是可导奇函数，则 f ?( x )为偶函数； ② 若 f( x )是可导偶函数，则 f ?( x )为奇函数。 这是函数一般性质的证明问题，由于并未给出 f( x )的具体特性，故宜考虑根据导数定义进行讨论。 设 f( x )是奇函数，即有 f( - x )= - f( x )，要证， f ?( -x )= f ?( x ). 记 f( x )的可导区间为 I，则对 ? x ? I 有 按定义进行证明 验证导数性质 ① 即 f ?( x )为偶函数。 设 f( x )是偶函数，即有 f( - x )= f( x )，要证， f ?( -x )= - f ?( x ). 记 f( x )的可导区间为 I，则对 ? x ? I 有 即 f ?( x )为奇函数。 验证导数性质 ② 导数作为极限是双侧极限的概念，因此通常的导数 可称作双侧导数。 然而，在一些问题中却需要考 虑相应的单侧变化率，如闭区 间端点处的导数问题，分段函 数在分段点处的导数问题等， 因而便产生了所谓单侧导数概念。 (1) 单侧导数的概念 (2) 单侧导数的定义 设 f( x )在点 x 0 的某个左邻域内有定义，若极限 存在，则称此极限 为 f( x )在点 x 0 处的左导数，记作：f ?-( x 0 ) ，即 设 f( x )在点 x 0 的某个右邻域内有定义，若极限 存在，则称此极限 为 f( x )在点 x 0 处的右导数，记作：f ?+( x 0 ) ，即 (3) 单侧导数与双侧导数的关系 由双侧极限与单侧极限的关系知，函数 f( x )在点 x 0 处导数存在的充要条件是： f( x )在 x 0 处的左、右导数存在并相等，即 f ?( x 0 )存在 f ?-( x 0 ),f ?+( x 0 )均存在，且 f ?-( x 0 )= f ?+( x 0 ) (4) 与单侧导数相关的问题 若函数 f( x )在开区间( a ,b )内可导，且在区间端 点处 f ?+( a )、 f ?-( b )都存在，就称 f( x )在闭