2016届高考数学备考试题库第八章第8节圆锥曲线的综合问题文(含解析).doc

2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线的综合问题 1．(13分) 如图所示， O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a10，b10)和椭圆C2：＋＝1(a2b20) 均过点 P，且以C1 的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C1，C2 的方程； (2)是否存在直线l ，使得 l与 C1交于A，B 两点，与C2 只有一个公共点，且 |＋|＝| |？证明你的结论． 解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2.从而a1＝1，c2＝1.因为点P在双曲线x2－＝1上，所以2－＝1.故b＝3. 由椭圆的定义知 2a2＝＋＝2. 于是a2＝，b＝a－c＝2，故C1，C2的方程分别为 x2－＝1，＋＝1. (2)不存在符合题设条件的直线． (ⅰ)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－. 当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以 |＋|＝2，||＝2. 此时，|＋|≠||. 当x＝－时，同理可知，|＋|≠||. (ⅱ)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m. 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝. 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得m2＝2k2＋3，因此 ·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0. 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·， 即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||. 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，不存在符合题设条件的直线． 2．(12分) 设F1 ，F2分别是椭圆C: ＋＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 解：(1)根据a2－b2＝c2及题设知M，＝，故2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2，代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)． 故C的离心率为. (2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y10，则 即 代入C的方程，得＋＝1.　 将及a2－b2＝c2代入得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2， ．(14分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C＋＝1(ab0) 的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的方程； (2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． 设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； 求OMN面积的最大值． 解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2. 椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2. 将y＝x代入可得x＝±， 因此×＝，可得a＝2. 因此b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)， 因为直线AB的斜率kAB＝， 又ABAD，所以直线AD的斜率k＝－. 设直线AD的方程为y＝kx＋m， 由题意知k≠0，m≠0. 由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0. 所以x1＋x2＝－， 因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝. 由题意知x1≠－x2， 所以k1＝＝－＝. 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)． 令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)． 可得k2＝－. 所以k1＝－k2，即λ＝－. 因此存在常数λ＝－使得结论成立． 直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)， 令x＝0，得y＝－y1，即N. 由知M(3x1,0)， 可得OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝ |x1||y1|. 因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值， 所以OMN面积的最大值为 ．(14分) 已知椭圆C: x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值． 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从