2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库选修4-4第1讲坐标系.docx

PAGE  PAGE - 4 - 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1．在极坐标系中，点P(ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________． 解析 设点P(ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0) 2．过点(2，eq \f(π,4))平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析 设直线上点坐标P(ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝eq \r(2). 答案 ρsin θ＝eq \r(2) 3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到圆心C的距离是________． 解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))的直角坐标为(2eq \r(3)，2)，故点A到圆心的距离为eq \r(?0－2\r(3)?2＋?2－2?2)＝2eq \r(3). 答案　2eq \r(3) 4．在极坐标系中，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))到曲线ρcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2上的点的距离的最小值为________． 解析　依题意知，点M的直角坐标是(2,2eq \r(3))，曲线的直角坐标方程是x＋eq \r(3)y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为eq \f(|2＋2\r(3)×\r(3)－4|,\r(12＋?\r(3)?2))＝2. 答案　2 5．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________． 解析 设所求曲线上动点M的极坐标为(r，φ)， 由图可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(φ＝θ,r＝\f(1,2)ρ)). 把θ＝φ和ρ＝2r代入方程ρ＝2acos θ， 得2r＝2acos φ，即r＝acos φ.(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))， 这就是所求的轨迹方程． 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(eq \f(a,2)，0)为圆心，半径为eq \f(a,2)的圆． 答案 以(eq \f(a,2)，0)为圆心，以eq \f(a,2)为半径的圆 6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝eq \f(π,4)，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________. 解析　曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ρ＝2cos θ，,θ＝\f(π,4)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ρ＝\r(2)，,θ＝\f(π,4)，))即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为eq \r(2)，因此AB＝eq \r(2). 答案　eq \r(2) 7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________． 解析　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝eq \f(3,4)，即tan α＝eq \f(3,4).易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为eq \f(4,3). 答案　eq \f(4,3) 8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________． 解析　注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2