2017届高考数学一轮复习选考部分第十二篇几何证明选讲第1节全等与相似应用能力提升文.doc

第十二篇　几何证明选讲(选修4-1) 第1节　全等与相似 【选题明细表】 知识点、方法 题号 平行线截割定理及应用 4 相似三角形的判定与性质 1,3 直角三角形的射影定理 2 1. 如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD. (1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积. (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以∠A=∠C,AB∥CD. 所以∠ABF=∠CEB. 所以△ABF∽△CEB. (2)解:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD∥BC,AB∥CD. 所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 因为DE=CD, 所以==, ==. 因为S△DEF=2, 所以S△CEB=18,S△ABF=8. 所以S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16. 所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24. 2. 已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E. 求证:(1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF. 证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC, 所以∠BAC=∠ADB, 又因为∠B=∠B, 所以△ABD∽△CBA, 所以=, 即AB·AC=AD·BC. (2)由题AD2=BD·DC, 所以AD4=BD2·DC2 =BE·BA·CF·CA =BE·CF·AD·BC, 所以AD3=BC·BE·CF. 3. 如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长. (1)证明:因为AB∥CD, 所以∠BAF=∠AED. 又因为∠BFE=∠C, ∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA, 所以∠BFA=∠ADE. 所以△ABF∽△EAD. (2)解:因为∠BAE=30°, 所以∠AEB=60°, 所以=sin 60°=, 又=, 所以BF=·AD=. 4. 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD. (1)求证:OE=OF; (2)求:+的值; (3)求证:+=. (1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC, 所以EF∥AD∥BC. 因为EF∥BC, 所以=,=. 因为EF∥AD∥BC, 所以=. 所以=, 所以OE=OF. (2)解:因为OE∥AD, 所以=. 由(1)知=, 所以+=+==1. (3)证明:由(2)知+=1, 所以+=2.又EF=2OE,所以+=2, 所以+=. 3