K0172华师一附中2013届高一学年教案必修第二章---21空间点直线平面之间的位置关系.doc

课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 教学过程： 知识点1 平面的概念 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象 平面的表示：一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。 平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长。 两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。 知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 指出：（1）符号语言：． （2）公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”， （3）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。 知识点 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 指出：（1）符号语言：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l. （2）公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线) （3）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点 公理 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：（1）符号语言：与重合 （2）“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性． 在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． （3）应用：①确定平面。公理3及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． ② 证明两个平面重合 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线，点是直线外一点. 求证：过点和直线有且只有一个平面 证：（存在性）：在直线上任取两点、，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和点的平面. （唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过和点的平面只有一个 指出：推论1的符号语言：有且只有一个平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面 证：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和直线的平面. （唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个 指出：推论2的符号语言：有且只有一个平面，使得 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面 证：（存在性）：∵ ∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面. （唯一性）：取，，∵ ∴点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个 指出：推论3的符号语言：有且只有一个平面，使得 三、典例解析 例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P. 例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。 解：a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证： （1）若a、b、c三线共点P，但点P直线d。