【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第8章第6节抛物线.doc

第八章　 一、选择题 1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x　　　　　　　 B．y2＝－8x C．x2＝8y　 D．x2＝－8y [答案]　C [解析]　由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，P的轨迹方程为x2＝8y.选C． (理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|　 D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| [答案]　C [解析]　抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C． 2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2　 B．3 C．　 D． [答案]　A [解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A． [点评]　与抛物线有关的最值问题常见题型． (1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值． 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　) A．　 B．3 C．　 D． [答案]　A [解析]　抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于＝，选A． (2013·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________． [答案]　－1 [解析]　如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|， 则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 所以(|PA|＋|PM|)min ＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1. (2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值． (2013·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________． [答案]　(－1，) [解析]　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小． 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． [分析]　抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决． [解析]　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x， 得y＝±，2， 点A在抛物线内部． 设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d， 由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 当PAl时，|PA|＋d最小，最小值为， 即|PA|＋|PF|的最小值为， 此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2， 即点P的坐标为(2,2)． (3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小． 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　) A．　 B． C．2　 D．－1 [答案]　D [解析]　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可