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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第9章第8节用向量方法求角与距离(理)
第九章
一、选择题
1.(2014·新课标全国理)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1:补成正方体ACBD-A1C1B1D1,取AD的中点E,连ME,可知四边形AEMN为平行四边形,ME∥NA.
BME为异面直线BM与AN所成的角.
设BC=1,在BME中,ME=BE=,BM=,
cos∠BME==.
解法2:由条件知,CA、CB、CC1两两垂直,以C为原点,CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,1),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
M(,,1),N(,0,1),
=(,-,1),=(-,0,1),
cos〈,〉===,故选C.
[点评] 求异面直线所成角的关键是建立恰当的空间直角坐标系,请练习下题:
(2014·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )
A.1 B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1平面ABB1A1,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
则A(-1,0,),B1(1,0,0),B(1,0,),C1(0,,0),
=(2,0,-),=(-1,,-),因为·=(2,0,-)·(-1,,-)=0,所以,即异面直线AB1和BC1所成角为直角,则其正弦值为1,故选A.
2.(2014·宁夏银川调研)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 方法一:取A1C1的中点E,连接AE,B1E,如图.
由题易知B1E平面ACC1A1,
则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角.
设正三棱柱侧棱与底面边长为1,
则sinB1AE===.
方法二:如图,
以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E-xyz,设棱长为1,则
A(,0,1),B1(0,,0),
=(-,,-1),
=(0,,0).
设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ,EB1为平面ACC1A1的法向量.
则sinθ=|cos〈,〉|
=||=.
3.如图,平面ABCD平面ABEF,四边ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),
设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),
由?
?n1=(1,-1,1).
sinθ===.
4.(2014·福建泉州二模)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则n=(1,-1,-1),
点D1到平面A1BD的距离是
d===.
[点评] 一、空间的距离
1.两点间的距离:连结两点的线段的长度.
2.点到直线的距离:从直线外一点向直线引垂直相交的直线,点到垂足之间线段的长度.
3.点到平面的距离:从平面外一点向平面引垂线,点到垂足间线段的长度.
连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中,垂线段最短.
4.平行直线间的距离:从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线,这点到垂足间线段的长度.
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度.
6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从直线上任意一点向平面引垂线,这点到垂足间线段的长度.
7.两平行平面间的距离:两个平面的公垂线段的长度.
二、求距离的方法
1.综合几何方法
找出或作出有关距离的图形;
证明它符合定义;
在平面图形内计算.
空间中各种距离的计算,最终都要转化为线段长度,特殊情况也可以利用等积法.
2.向量法
(1)求直线到平面的距离
设直线a平面α,Aa,Bα,n是平面α的法向量,过A作ACα,垂足为C,则n,
·n=(+)·n=·n,
|·n|=||
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