上海交大数学分析第1学期期终考试解答.docVIP

一、填空题（每小题4分，共 16分） . 极限 . 积分 . (电院专业同学做此题，不做4*) 设常数，则平面曲线所围图形的面积为 . 4*. (管院专业同学做此题，不做4) 设，则在上的最大值为 . 二、单项选择题（12分） 【 】(I) 若，则. (II) 若，则. (A) I正确，II不正确. (B) I不正确，II正确. (C) I，II均不正确. (D) I，II均正确. 设常数，则方程在内的实根个数为 ……【 】(A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0. 设为区间上的上凸函数，为上递减的下凸函数，且，则【 】(A) 为上的下凸函数. (B) 为上的上凸函数. (C) 必为上的单调函数. (D) 以上结论都不正确. 设是在区间上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 】(I) 在上连续. () 若，则，使. () 在上没有第一类间断点. () 若，则，使. (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D) 三、(12分) 的性态，并列表作图 （） 令 令 列表： 0 — — — 0 + — — 0 + + + + 单调减上凸 拐点 单调减下凸 极小值 单调增下凸 单调减下凸 ----------------------------------（5） 拐点 ，极小值点 由 得垂直渐近线 ； 由 得水平渐近线 . ----------------------------------（8） 草图： -------------------------------（12） 四、(第1小题6分，其它4小题各7分，共34分) 1. 解 原式= ------------------------------（2） == = --------------------------------（6） 2. 求极限. 解 原式=-------（3） = = ------------------------------（7） 3. 求不定积分=-----（3） = = ----------------------------（7） 4. 设函数，且，当时，，又 ， 求的表达式. 解 由于当时，，由可导知也可导. 方程两边对求导，得 ---------------(2) 当时，有 方程两边对积分得 = = -----------------------（6） 再由 得C=. ------------------------------------------（7） 5. 计算定积分. 解 原式= ---------------------（3） = -------------------（6） = --------------------------------（7） 五、(分) 在上连续，在内可导，且，，又对任意的有.试证:在内至少存在一点，使 . 证 不妨设 则， 由，及零点存在定理知 使 -----------------------（5） 构造函数 ，-------------------------------------（8） 则，故由Rolle定理知 使 即 ------------------（10） 六、（分）是定义在上的有界函数，和在上取值相异的点构成数列，该数列满足. 证明： 数列收敛，且； ，并计算积分值. 证（1）因为 ，，故数列单调减，又有界， 所以数列收敛。 设极限为，并在递归式两边令即得 --------------（4） （2）设函数，则在上有界，在数列处间断，因为，故N,有 . 在区间上，由于只有有限个间断点，故在区间上可积，所以对上面的及对，在上存在分划使. 而在区间上，取分划，也有， 故由可积的第二充要条件知. ---------------------------