两角差的余弦教案说明.doc

3.1.1 两角差的余弦公式 教学设计说明 眉山市龙正中学 吕惠 一、教材分析 1.教学内容 本节课选自人教版必修四第三章第一节，其中心任务是通过已知的《三角函数》《平面向量》《平面向量》《三角函数》学生经历数学知识的发现、的过程，体验成功探索新知的乐趣—发现”的教学模式 2.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出引导探究 3.学生的学法：自主探索、发现与交流 五、教学过程设计 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 问题情境 引出课题 话说喜羊羊想在森林的一座小山BC上建一座电视发射塔。如图所示，因工程需要，需从塔顶D点处向地面某点A处拉一根钢绳，现测得点A，C两点间距离为60米，从点A观测 电视发射塔的视角∠CAD约为 ，又测得∠CAB约为，为了在购买钢绳时不至于浪费，你能帮喜羊羊算算到底需要多长的钢绳吗？ 教师提问： （1）你能不用计算器，求出的值吗？ （2）的值到底是多少呢？与，之间到底存在怎样的关系呢？（顺势引出课题） 学生： 猜想： 学生1： 学生2： 学生3： 学生4： ，但是三角函数名和角应该不是简单的乘法分配律的关系 设计意图：为了使问题情境面向全体学生，对教材作了适度改编，把教材上求电视发射塔高度的问题，改为喜羊羊在建设发射塔过程中，需要从塔顶向地面某点拉钢绳的问题，就把求的问题变为求的问题，这样既遵循教材、又更贴近本节课内容，便于启发学生思考，很自然的引出问题：不用计算器，如何求的值？在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引起学生思考、联想，进而大胆猜想，这样矛盾集中指向了 =？的科学探究，从而水到渠成的引出课题。 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 类比探索 形成公式 探究一：在单位圆中运用三角函数线探求=？ 教师提问： （1）回忆前面学习的单位圆中的三角函数值的表示，对这个问题的探究有什么启发？ （2）在单位圆中如何构造角？ 构造出角后，引导学生用余弦线表示出即线段OM，再通过问题串：所在三角形不是直角三角形，怎么办？OM与OA有一定关系了，但是OM能不能直接由OA表示呢？ OM与OB和PA之间好像还是没有直接关系？再怎么办呢？引导学生构造直角三角形，采用“割补法”表示出OM=OB+BM=OB+CP，进而利用三角函数的定义建立三角函数与线段之间的联系，得到（即）与，对应三角函数之间的关系，利用特殊角的三角函数值求出一般角的三角函数值，问题得以解决。 接着教师再顺势提问：能将+推广到一般形式： 吗？引导学生将问题一般化。 学生：回忆单位圆中三角函数线的知识，想到在单位圆中构造角。 在单位圆中，以ox为角的始边，其终边与单位圆的交点为， 过点P作PM垂直于X轴，垂足为M，那么就是OM这条线段， 过点P作的垂线，设垂足为A，过点A作X轴的垂线，设垂足为B点；再过点P作AB的垂线，设垂足为C，则 OM=OB+BM=OB+CP = + =+ 得到： + = 设计意图：“拨开云雾，重见艳阳”，引导学生自然引入“利器”单位圆中的三角函数线，充分运用已有知识解决未知问题，在学生的“最近发展区”设置问题串，让学生在探索过程中，享受成功的喜悦，培养学生严密的推理能力。 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 类比探索 形成公式 探究二：运用向量方法探究对任意角， 是否成立？ 注意：①通过几何画板带特殊值验证成立后，学生容易认为对任意角， 就成立了，此时教师需强调数学结论必须经过严格的逻辑证明，特殊不能代表一般；②引导学生观察表达式的要素和结构特征，发现等式右边与前面学的向量的数量积的形式很像，从而想到尝试向量的方法。③学生容易在单位圆中设点A,B的坐标，而向量的数量积涉及的是向量的坐标，教师引导转化为的坐标； 学生：取特殊值验证，比如： 由想到前面学的向量的数量积， 设计意图：以疑导思，再次激发学生探索的欲望，感受获得结论需经历的“猜想-证明”的过程。通过取特殊值验证，让学生初步认同此公式，做到心里有数，方向明确，在教师引导下大胆联想，惊喜发现向量这个很好的工具！ 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 类比探索 形成公式 ④由推导 肯定会有学生觉得已经大功告成了！教师不急于指出，让学生动脑思考，看看推导是否严谨？如果没有学生发现，再抛出问题：的夹角一定是吗？ 进而再次突出向量夹角的范围为，引导学生观察图像，探究的夹角与间的关系；寻找出角之间的关系后，进一步寻找它们余弦之间的关系，从而使问题得以解决，得到 ⑤遮住公式右边，让学生再说出公式，加深对公式的理解记忆，强调此时公式的适用范围是任意角，公式具有强大的生命力。 教师：这个公式虽然简单，但是威力巨大、蕴意深邃，是我们大家辛勤劳作和智慧的结晶，我们当然要好好的把玩一番