北京工业大学2013-2014学年第1学期研究生《机械振动学》考试试卷.doc

北京工业大学2012014学年第1学期 研究生《机械振动学》 考试试卷 一、质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。（15分） 解：如图，令为柱体的转角，转动方程 则系统的动能和势能分别为： （平行轴定理） 利用和可得： 二、一位移传感器的固有频率为4Hz，无阻尼，用以测量频率为12Hz的简谐振动、测得振幅为0.275cm，问实际振幅为多少？若加入一阻尼器，阻尼比为0.7，问测得的振幅为多少，误差为多少？（15分） 解：仪器振动属于强迫振动，则相对位移的幅值为： 频率比，无阻尼，代入数据得： 加阻尼后，代入数据得： 误差： 三、一电梯用钢绳悬挂在滑轮上，以等速度上升，滑轮的半径,由于不均匀磨损有一定的偏心，偏心距，电梯的质量。试计算当钢绳长时电梯的振幅，此时绳子的刚度为 解：由于存在一定偏心，系统可以看成是由基础运动形成的强迫振动： 运动方程：，其中 则有 而， 可解得稳态响应方程为 四、求图示三自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。 解：取质量块的水平位移为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为 ， 求出特征值： ，即 变换令：，有则： 有，于是 时解有 同理当时求得 同理当时求得 振型图如下: 五、分别用瑞利法和邓柯莱法计算图示振动系统的基频，简述两种结果存在一定差别的原因。 解：1、瑞利法：取质量块的水平位移为广义坐标，则可列出质量和刚度矩阵为 ， 先根据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量，可由各质块对应的重力产生的静位移曲线作为一阶振型的近似，而各质块在重力作用下的静位移为： 因此可选取 有： 则 2、邓柯莱法：依题意得 根据柔度影响系数法求得： 而又： 则： 得 差别：瑞利法是根据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量，一般由各质量块对应的重力产生的静位移近似，这样计算的基频会存在一定的误差，一般选取的向量与之间误差越小，求出的基频越精确，并且计算出的是基频的上限。 邓柯莱法是采用柔度矩阵列出系统的特征方程，从而求出系统各阶频率与柔度矩阵和质量块的关系，然后仅保留基频的特征值，得出估算基频的计算公式，这样计算出的比实际值要小，而且当估算的值才比较精确。 瑞利法计算出的是基频的上限，一般比的精确值要大，而邓柯莱法计算出的比精确值要小，所以存在一定的差别。 六、如图所示，两端固定的等直杆，在其中点作用一轴向力F，当F突然取消后，求系统的响应。 解：设x坐标如图。 两端固定的等直杆纵向自由振动时的解为 (1) 式中：（为杆单位体积的质量） 依题意，由材料力学可知，初始条件 将(1)式等式左右两边乘，沿杆全长积分，根据主振型的正交性，并且使得 (2) 同理，将(1)式对时间t求一阶导数，然后等式左右两边乘，沿杆全长积分，并使得 (3) 将初始条件代入(3)式，得：。代入(2)式，得 故： 北京工业大学2013-2014学年第学期研究生《机械振动学》考试试卷 第1页4页 k k A C a R