浦东暑假初中数学辅导班 椭圆典型例题整理.doc

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1.．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，b＝＝.椭圆的标准方程为＋＝1.，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋ ＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.轴上的椭圆与直线交于、两点，为 中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴，∴． 例 已知椭圆的离心率，求的值． 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得． 当椭圆的焦点在轴上时，，，得． 由，得，即． ∴满足条件的或． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0) ．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，ABF2的周长．因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以ABF2的周长为4a＝4. ．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点P是椭圆上的点，且PF1PF2＝21，PF1F2的面积． 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1PF2＝21，PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4. ，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求． 解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得 ． 由韦达定理得． ∵是弦中点，∴．故得． 所以所求直线方程为． 解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ①－②得． ⑤ 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 所求直线方程为． 八、椭圆中的最值问题 例 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小 值时，求点的坐标． 解：由已知：，．所以，右准线． 过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为 ，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以． 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论． 解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3），，时，所给方程没有轨迹． 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点，且焦点在坐标轴上． （2），经过点（－5，2），焦点在轴上． （3）与双曲线有相同焦点，且经过点 解：（1）设双曲线方程为 ∵ 、两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线方程为 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在轴上，， ∴设所求双曲线方程为：（其中） ∵双曲线经过点（－5，2），∴ ∴或（舍去） ∴所求双曲线方