学年人教A版选修 函数的单调性与导数 作业).doc

技能演练基 础 强 化 1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(0,2π)上增 解析　f′(x)＝1－cosx0在(0,2π)上恒成立，f(x)在(0,2π)上为增函数． 答案　A 2．若f(x)＝(0abe)，则有(　　) A．f(a)f(b)　　　　B．f(a)＝f(b) C．f(a)f(b) D．f(a)·f(b)1 解析　f′(x)＝＝. 当x(0，e)时， lnx(0,1)，1－lnx0，即f′(x)0. f(x)在(0，e)上为增函数，又0abe， f(a)f(b)． 答案　C 3．若在区间(a，b)内有f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A．f(x)0 B．f(x)0 C．f(x)＝0 D．f(x)≥0 解析　由题意知f(x)在(a，b)上为增函数，又f(a)≥0，在(a，b)内恒有f(x)0. 答案　A 4．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)0是f(x) 在(a，b)内单调递减的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　f(x)在(a，b)内有f′(x)0，则f(x)在(a，b)内单调递减；反过来，f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件． 答案　A 5．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是(　　) 解析　分析导函数y＝f′(x)的图像可知，x－1时，f′(x)0.y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－1x1时，f′(x)0，y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x1时，f′(x)0，y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件． 答案　B 6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________． 解析　f(x)＝x2＋2xf′(1)， f′(x)＝2x＋2f′(1)． f′(1)＝2＋2f′(1)，f′(1)＝－2. f′(x)＝2x－4，f′(0)＝－4. 答案　－4 7．已知导函数y＝f′(x)的图像如下图所示，请根据图像写出原函数y＝f(x)的递增区间是________． 解析　由图像可知，当－1x2，或x5时，f′(x)0，f(x)的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)． 答案　(－1,2)，(5，＋∞) 8．下列命题中，正确的是________． 若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x(a，b)，都有f′(x)0；若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；若在(a，b)内的任意x都有f′(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；若x(a，b)，总有f′(x)0，则在(a，b)内f(x)0. 答案　 能 力 提 升 9．已知x1，求证：xlnx. 证明　令f(x)＝x－lnx， 则f′(x)＝1－＝， x1，f′(x)0. 即f(x)＝x－lnx在(1，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝10，f(x)f(1)0. ∴当x1时，有xlnx. 10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 解　函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1. 当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意． 当a－11，即a2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数． 依题意应有当x(1,4)时，f′(x)0，当x(6，＋∞)时，f′(x)0. 所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7. 所以a的取值范围是[5,7]． 品 味 高 考 11．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1 B. C. D. 解析　由题意画出函数的图像如图所示，由图可知， |MN|＝t2－lnt(t0)． 令f(t)＝t2－lnt， 则f′(t)＝2t－＝， 解f′(t)＝0，得t＝，(舍去t＝－)． 当0t时，f′(t)0，可知f(t)在区间(0，)上为减函数； 当t时，f′(t)0，可知f(t)在区间(，＋∞)上为增函数． 故当t＝时，|MN|有最小值． 答案　D 12．设函数f(x)＝xekx(k≠0)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k