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学年人教A版选修 函数的极值与导数 课时检测
第一章 1 一、选择题
1.(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y=f(x)在定义域内可导,则函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
[答案] B
[解析] 根据导数的性质可知,若函数y=f(x)在这点处取得极值,则f′(x)=0,即必要性成立;反之不一定成立,如函数f(x)=x3在R上是增函数,f′(x)=3x2,则f′(0)=0,但在x=0处函数不是极值,即充分性不成立.
故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件,故选B.
2.函数y=x4-x3的极值点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] y′=x3-x2=x2(x-1),由y′=0得x1=0,x2=1.
当x变化时,y′、y的变化情况如下表
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ - 0 - 0 + y 无极值 极小值 故选B.
3.已知实数a、b、c、d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
[答案] A
[解析] a、b、c、d成等比数列,ad=bc,
又(b,c)为函数y=3x-x3的极大值点,
c=3b-b3,且0=3-3b2,
或ad=2.
4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.-1a2 B.-3a6
C.a-3或a6 D.a-1或a2
[答案] C
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+a+6,
f(x)有极大值与极小值,
f ′(x)=0有两不等实根,
Δ=4a2-12(a+6)0,a-3或a6.
5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.,0 B.0,
C.-,0 D.0,-
[答案] A
[解析] f ′(x)=3x2-2px-q,
由f ′(1)=0,f(1)=0得,
解得f(x)=x3-2x2+x.
由f ′(x)=3x2-4x+1=0得x=或x=1,
易得当x=时f(x)取极大值.
当x=1时f(x)取极小值0.
6.函数f(x)=-(ab1),则( )
A.f(a)=f(b)
B.f(a)f(b)
C.f(a)f(b)
D.f(a),f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f ′(x)=()′==.
当x1时,f ′(x)0,f(x)为减函数,
ab1,f(a)f(b).
二、填空题
7.(2014~2015·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________________.
[答案] 4x-y-3=0
[解析] y′|x=1=(3lnx+4)|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
8.(2014~2015·河北冀州中学期中)若函数f(x)=x+asinx在R上递增,则实数a的取值范围为________________.
[答案] [-1,1]
[解析] f ′(x)=1+acosx,由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立,1+acosx≥0,a=0时显然成立;a0时,
-≤cosx恒成立,-≤-1,a≤1,0a≤1;a0时,-≥cosx恒成立,-≥1,a≥-1,即-1≤a0,综上知-1≤a≤1.
9.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,则常数a=______________.
[答案] -
[解析] f ′(x)=+2bx+1,
由题意得a=-.
三、解答题
10.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a、b、c的值;
(2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.
[解析] (1)由f ′(-1)=f ′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.
又f(1)=-1,a+b+c=-1.
a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
f ′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
当x-1或x1时,f ′(x)0;当-1x1时,f ′(x)0,
函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数.
当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值,则一定有f ′(x0)=0,因此我们可根据极值得到两个方程,再由f(1)=-1得到一个方程,解上述方程组成的方程组可求出参数.
一、选择题
11.
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