第54讲 参数方程与曲线系教案.doc

第4讲 参数方程与曲线系 11)直线的参数方程（t为参数）．其中θ是直线的倾斜角，参数t表示有向线段的数量（其中点A、P的坐标为A(x0，y0)，P(x，y)），如图1所示． (2)圆的参数方程（θ为参数）．其中r是半径，圆心是(x0，y0)，参数θ表示圆心角，如图2所示． (3)椭圆参数方程（θ为参数）．其中椭圆中心是(x0，y0)，长半轴长为a，短半轴长为b(a＞b)，参数θ表示离心角，如图3所示． (4)双曲线参数方程（θ为参数）．其中双曲线中心是(x0，y0)，实半轴长为a，虚半轴长为b，θ是参数．5)抛物线的参数方程为（t为参数）．其中焦点为（，0），准线为x＝－． 参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用． 2．常用的直线系方程： (1)过定点(x0，y0)的直线系为： λ1(y－y0)＋λ2(x－x0)＝0，其中λ1、λ2为参数． 2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系为： Ax＋By＋λ＝0，其中λ≠C，λ为参数． 3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系为： Bx－Ay＋λ＝0，其中λ为参数． 4)当直线l1与l2的一般式分别为f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0时，曲线系 λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数 ①当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线； ②当l1∥l2时，表示l1平行的一组平行直线． 5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为： ＋＝1，其中λ为参数． 6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为： xcosθ＋ysinθ＝r，其中θ为参数． 31)方程f1(xy)＋(f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(xy)＝0与f2(xy)＝0的交点(反过来)． 当需要解决求过两条曲线的交点作的一条曲线时常用此来解题可以避免解方程组求交点而直接得出结果2)圆系： 圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径． 对于不同圆心的两个圆 Ci＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)， 则 C1＋λC2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系． 当λ≠－1时，表示圆； 当λ＝－1时，退化为一条直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，此直线叫两圆的根轴． 对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则 C1＋λ[(x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数) 表示与C1相切于点（m，n）的圆系．4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定： Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A2＋B2＋C2≠0)． 但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线． ①给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)； ②给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的． ③若有两个二次曲线——C1：F1(x，y)＝0；C2：F2(x，y)＝0，且C1与C2交于不共线4点．则λF1(x，y)＋μF2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线． 5．用直线方程构成二次曲线系： ①如果两条直线li：li(x，y)＝Aix＋Biy＋Ci＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：F(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λF＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线． ②若有不共线4点Pi(i＝1，2，3，4)，记直线PiPi＋1(P5＝P1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系． ③若有不共线3点Pi(i＝1，2，3)，记直线PiPi＋1(P4＝P1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l2＋μl2·l3＋ηl3·l1＝0包括了所有过此3点的二次曲线系． ④与两条直线li(x，y)＝Aix＋Biy＋Ci＝0(i＝1，2)交于两点M1、M2的二次曲线系为λl1·l2＋μl32＝0．(其中l3为经过M1、M2的直线方程)． 6．部分常用的二次曲线系： (1)共焦二次曲线系：＋＝1； (2)共顶点二次曲线系：＋＝1； (3)共离心率二次曲线系：＋＝λ(λ＞0)； (4)共渐近线的双曲线系：－＝λ． 7利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径R，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的．常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略．通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程，求图形的性质等等． 1．椭圆＋＝1有两点P、Q．O是原点，若OP、OQ斜率之积为－． 求证：|OP|2＋|OQ|2为定值． 证明 设P(4cosα，2sinα)，Q(4c