学年高中数学人教A版选修课件 函数的单调性与导数.ppt

课时达标检测见课时跟踪检测(五) 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1　函数的单调性与导数 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示． [提出问题] 函数的单调性与导数 问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性． 提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． 问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负． 提示：y1′＝1在R上为正，y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正，y3′＝－在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． 问题3：结合问题1、2探讨，函数的单调性与其导函数正负有什么关系？ 提示：当f′(x)0时，f(x)为增函数；当f′(x)0时，f(x)为减函数． [导入新知] 函数的单调性与其导数正负的关系 在区间(a，b)内函数的单调性与导数的正负有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调 f′(x)＜0 单调 f′(x)＝0 常数函数 递增 递减 [化解疑难] 对导数与单调性的关系的理解 在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)＞0. [例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为以下四个选项中的 (　　) 函数与导函数图象间的关系 [解析]　由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.[答案]　 [类题通法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． [活学活用] (浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(　　) 解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先增大后减小.解析： [例2]　(1)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin2x　　　　　　 　B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)(2)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 判断(证明)函数的单调性 [解析]　(1)　y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0. (2)：f(x)＝ex－x－1， f′(x)＝ex－1. x∈(0，＋∞)时，ex＞1，f′(x)＝ex－1＞0， f(x)在(0，＋∞)． x∈(－∞，0)，ex＜1，f′(x)＝ex－1＜0. f(x)在(－∞，0)．[答案]　 [类题通法] 利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论． [活学活用] 试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数． 证明：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝.因为0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，故f′(x)＝＞0，即函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数. [例3]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x. [解]　(1)f′(x)＝1－3x2. 令1－3x2＞0，解得－＜x＜. 因此函数f(x)的单调增区间为. 令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞.因此函数f(x)的单调减区间为 ，. 利用导数求函数的单调区间 (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因为x＞0，所以x＋1＞0， 由f′(x)＞0，解得x＞， 所以函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)＜0，解得x＜，又x(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为. [类题通法] 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′