线性代数课件PPT 第6章.二次型.ppt

普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 第6章 二次型 第6章 二次型 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 化二次型为标准形 正定二次型和正定矩阵 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的定义 定义：n元变量x1, x2, … , xn的二次齐次多项式 当系数属于数域F时，称为数域F上的一个n元二次型，本章讨论实数域上的n元二次型，简称二次型。 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 由于xixj=xjxi，具有对称性，若令 aji=aij, ij 则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi (ij)，于是定义中的式子可以写成对称形式 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 其中：x=(x1, x2, … , xn)T，A=(aij)n×n，并称A为二次型对应的矩阵。对于任意一个二次型，总可以通过类似的方式，使其写成如上的对称形式，并对应于矩阵A。由对称性可知，A为对称矩阵，又若A，B为n阶对称方阵，且 f(x1, x2, … , xn)=xTAx=xTBx 则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。 所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 例1：设f(x1, x2, x3, x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42，则它的矩阵为 一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即 其中x=(x1, x2, … , xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组基相联系的。 如果n维向量α在两组基{ε1,ε2, … ,εn}和{η1,η2,…,ηn}下的坐标向量分别为 x=(x1, x2, … , xn)T和y=(y1, y2, … , yn)T 又 (η1,η2,…,ηn) =(ε1,ε2, … ,εn)C 于是 x=Cy 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 如此则有二次型 f(α)= xTAx= yT(CTAC)y 即二次型f(α)在两组基{ε1,ε2, … ,εn}和{η1,η2,…,ηn}下所对应的矩阵分别为 A和CTAC 其中CTAC仍是对称阵， yTCTACy是y1, y2, … , yn的一个二次型。 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 二次型的矩阵表示 例2：见课本260页 6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵 合同矩阵 定义：对于两个矩阵A和B，如果存在可逆阵C，使得CTAC=B，就称A合同（或相合）于B，记作 由定义容易证明，矩阵之间的合同关系也具有自反性，对称性和传递性。由于合同关系具有对称性，所以A合同与B，也说成A与B是合同的，或A，B是合同矩阵。 6.2 化二次型为标准形 标准二次型 6.2 化二次型为标准形 化二次型为标准形 化二次型为标准二次型，就是对实对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使CTAC为对角阵。 化二次型为标准二次型的主要方法有三种，我们只介绍第一种方法：正交变换法。并且证明任何实对称矩阵A，一定存在可逆矩阵C，使CTAC为对角阵。 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有 QTAQ=diag(λ1, λ2, …, λn) 因此，对于任一个二次型f(x1, x2, … , xn)=xTAx，有下面的重要定理。 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 定理（主轴定理）：对于任一个n元二次型 f(x1, x2, … , xn)=xTAx 存在正交变换x=Qy (Q为n阶正交矩阵)，使得 其中λ1, λ2, …, λn是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量α1,α2,… ,αn是对应于特征值λ1, λ2, …, λn的标准正交特征向量。 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 例1：用正交变换法，将二次型 化成标准形。 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 解：二次型对应矩阵为 其特征多项式 A的特征值λ1=1，λ2=1， λ3=10。由(λ1I－A)x=0，即 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 和(λ2I－A)x=0，即 分别求得对应λ1,2=1的线性无关的特征向量 6.2 化二次型为标准形 正交变换法 和λ