线性代数总复习2014.ppt

证1 因 Axi = 0 (i=1,…, n-r), 上式两边左乘 A 得 设存在一组数 x, x1,…, xn-r , 使 即 (1) 而 x1, …, xn-r 线性无关, 因 Ah ? 0, 所以 代入(1)得 所以 所以 h, h+x1, …, h+xn-r 线性无关. (2) 由(2)得 x = 0, 例17 设x1, …, xn-r 是 Ax = 0 的一个基础解系, 而h不 是 Ax = 0 的解, 证明 h, h+x1, …, h+xn-r 线性无关. 知识点 若 s r, 则向量组 b1,…, bs 线性相关. 设向量 b1, …, bs 可由向量组 a1,…, ar 线性表示, 定理 设向量组 线性无关, 若 线性相关, 则向量 b 可由 线性表示. 而 x1, …, xn-r 线性无关, 所以 h, h+x1, …, h+xn-r 线性无关. 因 x1, …, xn-r 的线性组合也是 Ax = 0 的解, h 不可由 x1, …, xn-r 线性表示, 证2 由定理知 h, x1,…, xn-r 线性无关, 从而 易知 h, h+x1, …, h+xn-r 与 h, x1,…, xn-r 等价, 因此 所以 例17 设x1, …, xn-r 是 Ax = 0 的一个基础解系, 而h不 是 Ax = 0 的解, 证明 h, h+x1, …, h+xn-r 线性无关. 知识点 例18 求一个齐次方程组, 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 的 A 放在右边, 转置 ,只需解 然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基础解系 设所求的齐次方程组为 , 则 取 即可. 解 例19 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知 是它的三个解向量, 且 求该方程组的通解. 解 取 , 则它就是解,从而也是基础解系. 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 解 例20 设 (1) 求 (2) 说明 a1, a2 和 a3, a4 为V 的两个基, 并求从基 a1, a2 到基 a3, a4 的过渡矩阵. 易知 故a1,a2 和a3,a4都是V 的基. 从基 a1, a2 到基 a3, a4 的过渡矩阵为 知识点 例 21 已知 的两组基为： 及 其中： （1）求向量 在基 下的坐标； （2）求从 到 的过渡矩阵； （3）求向量 在基 下的坐标。 解：（1）设所求坐标为 ，即有： 方程组整理得： 对其增广矩阵进行初等行变换： 即方程组得解为： 即 于是： （2）设所求过渡矩阵为 即有： （2）设 ，解方程组 （1）因为 所以 （3）设向量 则 本题如果直接利用公式 来求 ，计算 时计算量较大，为了避免繁琐的运算，可采用如下方法之一求解： 即可 由例6知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，就易计算出向量在新基底下的坐标。 例22 设 是 的一组基，而 （1）证明： 也是 的一组基，并写出由 到 的过渡矩阵； （2）设 在 下的坐标为 求 在 下的坐标。 解：1）设矩阵 对矩阵B进行初等列变换：后一列减去前一列得： 所以 也是 的一组基。 而 或由定理知